MATEMANIJA

Pozdrav! Zadatak glasi: Izračunati zbir [inlmath]S_n=7+77+777+\cdots+7\underbrace{777\ldots7}_{n\text{ sedmica}}[/inlmath].
Treba mi početna ideja za ovaj zadatak. Pokušavam duze vreme da uočim neku pravilnost, ali ne uspevam. Hvala!
Rešenje zadatka nemam.

Zadatu sumu možeš napisati u sledećem obliku:
[dispmath]\begin{align}
S_n=7+77+777+\cdots+7\underbrace{7777\ldots7}_{n-1\text{ sedmica}}&+7\underbrace{77777\ldots7}_{n\text{ sedmica}}\\
=7+70+700+\cdots+7\underbrace{0000\ldots0}_{n-1\text{ nula}}&+7\underbrace{00000\ldots0}_{n\text{ nula}}\\
+\enspace7+\enspace70+\cdots+\enspace7\underbrace{000\ldots0}_{n-2\text{ nula}}&+\enspace7\underbrace{0000\ldots0}_{n-1\text{ nula}}\\
+\enspace\enspace7+\cdots+\enspace\enspace7\underbrace{00\ldots0}_{n-3\text{ nula}}&+\enspace\enspace7\underbrace{000\ldots0}_{n-2\text{ nula}}\\
\vdots\\
+7&+\enspace\enspace\enspace\enspace\enspace\enspace\enspace\enspace70\\
&+\enspace\enspace\enspace\enspace\enspace\enspace\enspace\enspace\enspace7
\end{align}[/dispmath] Da li ti to daje početnu ideju?

Pa i ne baš. [inlmath]S_n[/inlmath] predstavlja geometrijski niz kod kojeg je prvi član [inlmath]7[/inlmath], a količinik [inlmath]10[/inlmath], i niz ide do [inlmath]n-n[/inlmath] nula, tj. dok ne nestanu sve nule.

[inlmath]S_n[/inlmath] nikako ne može biti geometrijski niz, što se vrlo lako i pokazuje. Količnik drugog i prvog člana je [inlmath]\frac{77}{7}=11[/inlmath], količnik trećeg i drugog člana je [inlmath]\frac{777}{77}=\frac{111}{11}[/inlmath] (što je različito od [inlmath]11[/inlmath]), čime je pokazano da količnik nije konstantan i da to onda nije geometrijski niz.

To što si rekao zapravo se odnosi na svaki red u ovom mom zapisu. Ja sam ti pokazao kako se zadati niz [inlmath]S_n[/inlmath] svodi na sumu geometrijskih nizova. Svaki red u mom zapisu predstavlja po jedan geometrijski niz, tj.
[dispmath]S_n=s_n+s_{n-1}+s_{n-2}+\cdots+s_2+s_1+s_0[/dispmath] pri čemu je
[dispmath]s_k=7+70+700+\cdots+7\underbrace{000\ldots0}_{k-1\text{ nula}}+7\underbrace{0000\ldots0}_{k\text{ nula}}[/dispmath] [inlmath]s_k[/inlmath] nije problem izračunati pomoću formule za sumu geometrijskog niza. Zatim to uvrstiš u [inlmath]S_n[/inlmath] i središ (biće potrebno još jednom primeniti formulu za sumu geometrijskog niza).

Evo još jedan način:
[dispmath]S_n=7+77+777+\cdots+\underbrace{7777\ldots7}_{n\text{ sedmica}}=7\left(1+11+111+\cdots+\underbrace{111\ldots1}_{n\text{ jedinica}}\right)=\\
=7\left(\frac{10^1-1}{9}+\frac{10^2-1}{9}+\frac{10^3-1}{9}+\cdots+\frac{10^n-1}{9}\right)=\frac{7}{9}\left(\underbrace{10^1+10^2+10^3+\cdots+10^n}_{\text{geometrijski niz}}-n\right)=\\
\vdots[/dispmath]

Frank je napisao:[inlmath]S_n=7+77+777+\cdots+{\color{red}7\underbrace{777\ldots7}_{n\text{ sedmica}}}[/inlmath]

Frank je napisao:[dispmath]S_n=7+77+777+\cdots+{\color{red}\underbrace{7777\ldots7}_{n\text{ sedmica}}}=[/dispmath]

Kako tačno glasi izraz za zbir u ovom zadatku? Da li poslednji sabirak sadrži [inlmath]n+1[/inlmath] sedmica, ili [inlmath]n[/inlmath] sedmica?

Inače, ideja je dobra.

Poslednji sabirak ima [inlmath]n[/inlmath] sedmica. Izvinjavam se, ne znam kako mi je jedna sedmica iskočiča iz "donje" zagrade u uvodnom postu.

U tom slučaju, prilikom čitanja onog postupka koji sam ja priložio treba ga korigovati prema ovoj ispravljenoj verziji zadatka...