MATEMANIJA

Ako [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath] dokazati sledecu jednakost:
[dispmath]\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\cdots+\frac{1}{n^2+3n+2}=\frac{n}{2n+4}[/dispmath] Tacno sam uradio prvi dio zadatka gde koristim [inlmath]n=1[/inlmath] i dobijem tacan rezultat. ([inlmath]\frac{1}{6}=\frac{1}{6}[/inlmath])
Pa sam napravio pretpostavku [inlmath]n=k;\;\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\cdots+\frac{1}{k^2+3k+2}=\frac{k}{2k+4}[/inlmath]
Pa sam iskoristio [inlmath]n=k+1[/inlmath] i postavio:
[dispmath]\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\cdots+\frac{1}{k^2+3k+2}+\frac{1}{(k+1)^2+3(k+1)+2}=\frac{k+1}{2(k+1)+4}\\
=\frac{k}{2k+4}+\frac{1}{(k+1)^2+(3k+5)}=\frac{k(k+1)^2+(3k+5)+2k+4}{(2k+4)(k+1)^2+(3k+5)}[/dispmath] I nakon ovoga se samo izgubim, pokusao sam mnogo puta ali neuspjesno, pa ako bi neko mogao da mi pomogne i objasni bio bih mu mnogo zahvalan.

U principu, kod ovakvog tipa zadataka, treba izbegavati množenje "svaki sa svakim", čak naprotiv, često se faktorizacijom dosta toga pokrati. Treba primeniti da imenilac opšteg člana na levoj strani možemo da zapišemo kao [inlmath](n+1)(n+2)[/inlmath]. Takođe, imenilac na desnoj strani može da se zapiše [inlmath]2(n+2)[/inlmath]. Sada imamo sledeću situaciju kada iz tačnost tvrđenja za [inlmath]n=k[/inlmath] dokazujemo tačnost za [inlmath]n=k+1[/inlmath]:
[dispmath]\frac{k}{2(k+2)}+\frac{1}{(k+2)(k+3)}=\frac{k+1}{2(k+3)}[/dispmath] E, sad ova dva razlomka na levoj strani svedeš na jedan i ne bi trebalo da bude problema.

Aaa sad mi je tacno, puno hvala!

Čisto uzged, imaš dve greške u izrazu na desnoj strani,

qq123qq je napisao:[dispmath]=\frac{k}{2k+4}+\frac{1}{(k+1)^2+(3k+5)}=\frac{k(k+1)^2+(3k+5)+2k+4}{(2k+4)(k+1)^2+(3k+5)}[/dispmath]

treba da bude
[dispmath]\frac{k{\color{red}\Bigl[}(k+1)^2+(3k+5){\color{red}\Bigr]}+2k+4}{(2k+4){\color{red}\Bigl[}(k+1)^2+(3k+5){\color{red}\Bigr]}}[/dispmath] Ali, svakako nemoj nastavljati na taj način, već ovako kako ti je miletrans pokazao.