MATEMANIJA

U aritmetičkim nizovima [inlmath]17,21,25,29,\ldots[/inlmath] i [inlmath]16,21,26,31,\ldots[/inlmath] ima zajedničkih članova. Naći zbir prvih [inlmath]100[/inlmath] takvih članova. Rešenje: [inlmath]S_{100}=101100[/inlmath].
Neka je opšti član prvog niza [inlmath]a_m[/inlmath], a drugog [inlmath]b_n[/inlmath]. Kad njih izjednačim i malo sredim, dobijam
[dispmath]5n-4m=2[/dispmath] Kod ovog koraka se ukopam i ne znam sta dalje da radim? Hvala!

Ako posmatramo samo članove koji su jednaki, oni će sami za sebe formirati aritmetički niz. Prvi član tog niza će biti [inlmath]21[/inlmath] (zadato u zadatku), a razlika dva uzastopna člana će biti [inlmath]4\cdot5=20[/inlmath]. Dalje mislim da je očigledno.

Da, uradio sam i ja na taj način, ali postupak sa početka teme mi je nekako draži, pa bih voleo da ga dovršim.

Iz [inlmath]5n-4m=2[/inlmath] možeš izraziti bilo [inlmath]n[/inlmath], bilo [inlmath]m[/inlmath]. Svejedno. Haj'mo da izrazimo [inlmath]n[/inlmath] (potpuno analogno bi se radilo i da smo izrazili [inlmath]m[/inlmath]):
[dispmath]n=\frac{4m+2}{5}=m-\frac{m-2}{5}[/dispmath] Odavde sledi da [inlmath]\frac{m-2}{5}[/inlmath] mora biti ceo broj, tj. da je
[dispmath]m-2=5p,\quad p\in\mathbb{Z}\\
\Longrightarrow\quad\underline{m=5p+2}[/dispmath] (Mada nema potrebe, sada možemo naći izraz i za [inlmath]n[/inlmath], uvrštavanjem ovog izraza: [inlmath]n=\frac{4m+2}{5}=\frac{4(5p+2)+2}{5}=4p+2[/inlmath].)

Prvi član novog niza (obeležimo ga sa [inlmath]c_1[/inlmath]) imaćemo kada je [inlmath]m=2[/inlmath] tj. kada je [inlmath]p=0[/inlmath], drugi član novog niza imaćemo za [inlmath]p=1[/inlmath],... a stoti član ćemo imati za [inlmath]p=99[/inlmath], pri čemu je
[dispmath]c_{100}=a_{5\cdot99+2}=a_{497}=a_1+496\cdot4=2001[/dispmath] Sada se lako odredi suma prvih [inlmath]100[/inlmath] članova novog niza, po formuli [inlmath]S_{100}=\frac{100}{2}(c_1+c_{100})[/inlmath].

Pa, ako ti je ovaj način i nakon svega ovoga „draži“ od miletransovog načina – onda, srećno...

Daniel je napisao:Pa, ako ti je ovaj način i nakon svega ovoga „draži“ od miletransovog načina – onda, srećno...

Hvala! Nisam bas ocekivao ovo.

Neki članovi aritmetičkih progresija [inlmath]17,21,25,\ldots[/inlmath] i [inlmath]16,21,26,\ldots[/inlmath] su jednaki. Naći zbir prvih [inlmath]100[/inlmath] jednakih članova ovih progresija.
Vidi se da je:

Korak za prvu progresiju:
[dispmath]d_1=4[/dispmath] Korak za drugu progresiju:
[dispmath]d_2=5[/dispmath] Kako bismo uopšte našli prvih [inlmath]100[/inlmath] jednakih članova, bez da ispisujemo svaki ?

Pozdrav i dobro nam došao.

Mislim da bi najjednostavniji pristup bio da se formira treći niz koji bi obuhvatao samo one članove dva zadata niza koji su jednaki. Prvi član tog trećeg niza bi bio prvi jednaki član u dva zadata niza (u ovom slučaju [inlmath]21[/inlmath]), a korak (razlika) bi bio [inlmath]NZS[/inlmath] za [inlmath]d_1[/inlmath] i [inlmath]d_2[/inlmath].

Imali smo identican zadatak ovde.

Frank je napisao:Hvala! Nisam bas ocekivao ovo.

Sada, tri godine nakon što sam ponudio to rešenje, vidim da bi se postupak značajno uprostio ako bismo, kako je miletrans uočio, odmah proglasili [inlmath]21[/inlmath] kao prvi član oba niza (tj. zanemarili bismo [inlmath]17[/inlmath] iz prvog i [inlmath]16[/inlmath] iz drugog niza), i tada bismo imali
[dispmath]md_1=nd_2[/dispmath] gde je [inlmath]d_1[/inlmath] razlika prvog niza, [inlmath]d_2[/inlmath] razlika drugog niza, a [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] neki prirodni brojevi, takvi da jednakost bude zadovoljena. Pri tome, [inlmath]md_1[/inlmath] (tj. [inlmath]nd_2[/inlmath]) predstavlja razliku novoformiranog niza čiji zbir prvih sto članova tražimo). Uvrštavanjem [inlmath]d_1=4[/inlmath] i [inlmath]d_2=5[/inlmath],
[dispmath]4m=5n[/dispmath] Pošto je desna strana deljiva sa [inlmath]5[/inlmath], mora biti i leva. A pošto na levoj strani [inlmath]4[/inlmath] nije deljivo sa [inlmath]5[/inlmath], znači da [inlmath]m[/inlmath] mora biti deljivo sa [inlmath]5[/inlmath].
Istim rezonom dolazimo i do toga da [inlmath]n[/inlmath] mora biti deljivo sa [inlmath]4[/inlmath].
Dakle, [inlmath]m=5k[/inlmath] i [inlmath]n=4l[/inlmath], gde je [inlmath]k,l\in\mathbb{N}[/inlmath]. Odatle je [inlmath]md_1=20k[/inlmath] i [inlmath]nd_2=20l[/inlmath]. Odatle dobijamo da je razlika novoformiranog niza jednaka [inlmath]20[/inlmath]. U opštem slučaju bismo dobili da je razlika novoformiranog niza, kako miletrans reče, jednaka [inlmath]\text{NZS}(d_1,d_2)[/inlmath].