MATEMANIJA

Zbir svih clanova opadajuceg geometrijskog niza je [inlmath]1,5[/inlmath] a zbir njihovih kvadrata je [inlmath]0,125[/inlmath]. Drugi clan datog niza je?

Ovaj zadatak sam dobio kao jedan od zadataka za pripremu za prijemni pa nemam resenje ali je najverovatnije sa nekog prijemnog ispita.
Pokusao sam da ispisem formule za zbir geometrijskog niza i da ih podelim ili da iz jedne izrazim nesto sto ce mi biti korisno u drugoj ali nesto mi fali jer nikako ne mogu da odredim nijednu nepoznatu.

Potrebno je rešiti sledeći sistem jednačina:
[dispmath]\begin{cases}
\frac{a_1}{1-q}=1,5\\
\frac{a_1^2}{1-q^2}=0,125
\end{cases}[/dispmath] Ako se iz prve jednačine izrazi [inlmath]a_1[/inlmath] preko [inlmath]q[/inlmath] i tako izraženo [inlmath]a_1[/inlmath] uvrsti u drugu jednačinu posle sređivanja dobija se kvadratna jednačina: [inlmath]2,375q^2-4,5q+2,125=0[/inlmath], čija su rešenja [inlmath]q_1=\frac{17}{19}[/inlmath] i [inlmath]q_2=1[/inlmath]. Kako je niz opadajući rešenje [inlmath]q_2[/inlmath] otpada. Dalje bi trebalo da bude lako

hvala ti puno ja sam pogresio jer sam koristi formulu za konacan niz totalno sam zaboravio na tu drugu formulu

Meni nije najjasniji primusov postupak. Ako se ne varam on je koristio formulu za sumu beskonačne geometrijske progresije, ali iz teksta zadatka se ne može zaključiti da je u pitanju ovakav niz.
Ako je količnik [inlmath]q=1[/inlmath] onda je niz monoton, a ako je [inlmath]q=\frac{19}{17}[/inlmath] niz je rastući ([inlmath]q>1)[/inlmath], pa ni jedan od ova dva ne ispunjava uslov iz teksta zadatka (niz je opadajući).
Po mom mišljenju u tekstu zadatka se misli na sumu svih posmatranih članova nekog niza.

Permutovao sam brojilac i imenilac kod [inlmath]q=\frac{17}{19}[/inlmath]. Izvinjavam se! Ali opet mi nije jasno zasto niz iz teksta zadatka posmatramo kao beskonacnu progresiju?

Frank je napisao:Ali opet mi nije jasno zasto niz iz teksta zadatka posmatramo kao beskonacnu progresiju?

U slučaju da se radi o konačnom geometrijskom nizu imali bismo dve jednačine sa tri nepoznate, stoga sam pretpostavio da je u pitanju beskonačan niz.

primus je napisao:[dispmath]\begin{cases}
\frac{a_1}{1-q}=1,5\\
\frac{a_1^2}{1-q^2}=0,125
\end{cases}[/dispmath] Ako se iz prve jednačine izrazi [inlmath]a_1[/inlmath] preko [inlmath]q[/inlmath] i tako izraženo [inlmath]a_1[/inlmath] uvrsti u drugu jednačinu posle sređivanja dobija se kvadratna jednačina: [inlmath]2,375q^2-4,5q+2,125=0[/inlmath],

Mislim da može i jednostavnije, ako se druga jednačina podeli prvom, čime se dobije [inlmath]\frac{a_1}{1+q}=\frac{1}{12}[/inlmath] (preporučujem da se [inlmath]1,5[/inlmath] i [inlmath]0,125[/inlmath] u startu napišu kao razlomci [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{8}[/inlmath], lakše je), a zatim se prva jednačina podeli ovom novom jednačinom i dobije se [inlmath]\frac{1+q}{1-q}=18[/inlmath], što se svodi na linearnu (i ne pojavljuje se ono rešenje [inlmath]q=1[/inlmath]).

primus je napisao:čija su rešenja [inlmath]q_1=\frac{17}{19}[/inlmath] i [inlmath]q_2=1[/inlmath]. Kako je niz opadajući rešenje [inlmath]q_2[/inlmath] otpada.

[inlmath]q_2[/inlmath] otpada ne samo zbog toga što je niz opadajući, već i zbog uslova nenultog imenioca u jednačinama, koji smo morali postaviti prilikom množenja obe strane tim imeniocima. Ali, čak i ako radimo na taj način, ne moramo doći do kvadratne, ako uočimo šta se može faktorisati i skratiti (uz već pomenut uslov [inlmath]q\ne1[/inlmath], koji je očigledno ispunjen):
[dispmath]\frac{\left(\frac{3}{2}(1-q)\right)^2}{1-q^2}=\frac{1}{8}\\
\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2(1-q)^\cancel2}{\cancel{(1-q)}(1+q)}=\frac{1}{8}\\
\vdots[/dispmath] ...i imamo linearnu.

primus je napisao:

Frank je napisao:Ali opet mi nije jasno zasto niz iz teksta zadatka posmatramo kao beskonacnu progresiju?

U slučaju da se radi o konačnom geometrijskom nizu imali bismo dve jednačine sa tri nepoznate, stoga sam pretpostavio da je u pitanju beskonačan niz.

Upravo zbog ovakvih situacija i insistiramo na preciznom i kompletnom tekstu zadatka.