MATEMANIJA

Prijemni ispit MATF – 26. jun 2019.
14. zadatak

Dobar dan jos jednom od mene! Sada imam pitanje u vezi nizova.... Zadatak glasi:
Niz [inlmath](a_n)[/inlmath] je odredjen uslovima [inlmath]a_1=3[/inlmath], [inlmath]a_2=15[/inlmath] i [inlmath]a_{n+2}=\frac{a_{n+1}}{a_n}[/inlmath] za [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath]. Clan [inlmath]a_{2019}[/inlmath] tog niza je jednak:

[inlmath]A)\;3\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;5\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;15\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;\frac{1}{3}\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;\frac{1}{5}\qquad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{ne znam}[/inlmath]

Problem je sledeci, ja znam iz svega da je [inlmath]a_3=5[/inlmath] ali kako mogu da tvrdim da ce se isto desavati sa svim sledecim parovima... Ja u sustini, zbog resenja koje kaze da je [inlmath]a_{2019}=5[/inlmath] zakljucujem da je svaki treci clan jednak [inlmath]a_1[/inlmath]. Na primer [inlmath]a_4=a_1[/inlmath], [inlmath]a_7=a_4=a_1[/inlmath] i tako dalje... Pa bih iz toga [inlmath]2019[/inlmath] oduzeo sa [inlmath]3[/inlmath] i dobio [inlmath]2016[/inlmath] odnosno [inlmath]a_{2016}[/inlmath] tj. clan koji je deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], tj. sa tom periodom i posto je on deljiv automatski znam da se ista perioda ponavlja sa [inlmath]a_{2017}[/inlmath], delili smo da ne bi brojali redom (sto bi bilo apsurdno)

Problem je sto ne znam da je dokazem tu periodicnost. Moze li neko da mi objasni kako se pojavljuje ova periodicnost? Da je tako nazovem. Mogu sve to da upotrebim i sve to shvatam, ali ne znam kako da je dokazem.

Pomocu niza [inlmath]a_{n+2}=\frac{a_{n+1}}{a_n}[/inlmath] i prva dva clana koja su poznata, mozes odrediti treci, cetvrti, peti, sesti, ... clan niza [inlmath]a_n[/inlmath]. Kad to uradis uocices neku pravilnost, tj. periodicnost.

Mislis mozda, da [inlmath]a_4[/inlmath] odredim preko onog izraza da je (u ovom slucaju) [inlmath]2a_3=a_2+a_4[/inlmath]... Mozda tako i onda primetim periodicnost, i to je to?

Cetvrti clan niza odredis tako sto u nizu [inlmath]a_{n+2}=\frac{a_{n+1}}{a_n}[/inlmath] umesto [inlmath]n[/inlmath] pises [inlmath]2[/inlmath]. Dobija se da je [inlmath]a_4=\frac{a_3}{a_2}=\frac{1}{3}[/inlmath]. Isti postupak i za svaki sledeci clan, s tim sto se [inlmath]n[/inlmath] uvecava za jedan.

Griezzmiha je napisao:Mislis mozda, da [inlmath]a_4[/inlmath] odredim preko onog izraza da je (u ovom slucaju) [inlmath]2a_3=a_2+a_4[/inlmath]...

Ta formula (ne izraz) važi samo onda kada je niz aritmetički. Međutim, nigde u tekstu ovog zadatka nije navedeno da je dati niz aritmetički (štaviše, lako se može pokazati i da ne može biti aritmetički). Tako da ta formula u ovom slučaju otpada.

Može se rešiti i bez računanja članova niza, tako što se iz [inlmath]a_{n+2}=\frac{a_{n+1}}{a_n}[/inlmath] zaključi da važi i [inlmath]a_{n+1}=\frac{a_n}{a_{n-1}}[/inlmath], a zatim se [inlmath]a_{n+1}=\frac{a_n}{a_{n-1}}[/inlmath] uvrsti u [inlmath]a_{n+2}=\frac{a_{n+1}}{a_n}[/inlmath] i dobije se
[dispmath]a_{n+2}=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{a_n}{a_{n-1}}}{a_n}=\frac{1}{a_{n-1}}[/dispmath] Iz [inlmath]a_{n+2}=\frac{1}{a_{n-1}}[/inlmath], naravno, sledi i [inlmath]a_{n+3}=\frac{1}{a_n}[/inlmath], a odatle i [inlmath]a_{n+6}=\frac{1}{a_{n+3}}[/inlmath]. Sada, ako u [inlmath]a_{n+6}=\frac{1}{a_{n+3}}[/inlmath] uvrstimo [inlmath]a_{n+3}=\frac{1}{a_n}[/inlmath], dobijamo
[dispmath]a_{n+6}=\frac{1}{a_{n+3}}=\frac{1}{\frac{1}{a_n}}=a_n[/dispmath] čime smo došli do periodičnosti, tj. dokazali da se vrednosti periodično ponavljaju kod svakog šestog člana niza.