MATEMANIJA

Odrediti koliko brojeva treba dodati između [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]625[/inlmath] da bi bio formiran geometrijski niz, takav da je suma posmatranih članova [inlmath]781[/inlmath]. Nadam se da mi možete pomoći.
Našao sam prvo sljedeću formulu:
[dispmath]\sqrt[k+1]\frac{b}{a}[/dispmath] Imao sam ideju preko nje izraziti [inlmath]q[/inlmath] i onda u glavnu formulu za sumu, ali mislim da to nije dobar način jer se pored [inlmath]n[/inlmath] iz glavne formule za sumu sada "javlja" i [inlmath]k[/inlmath], sto mi je dodatno komplikovalo zadatak. Bilo kakva početna pomoć bi dobro došla. Hvala.

Pozdrav! Dobro dosao!
Prvi clan niza je [inlmath]1[/inlmath], a poslednji je [inlmath]625[/inlmath]. Primenimo formulu za [inlmath]n[/inlmath]-ti clan geometrijskog niza
[dispmath]a_n=a_1\cdot q^{n-1}\\
625=\frac{q^n}{q}\;\Longrightarrow\;q^n=625q[/dispmath] Sad treba nekako da iskoristimo podatak da je zbir posmatranih clanova jednak [inlmath]781[/inlmath]. Koristimo formulu za sumu prvih [inlmath]n[/inlmath] clanova geometrijskog niza
[dispmath]S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1},\;q\ne1\\
781=\frac{q^n-1}{q-1}\\
781=\frac{625q-1}{q-1}\\
781q-781=625q-1\\
156q=780\;\Longrightarrow\;q=\frac{780}{156}=5\\
5^n=625\cdot5\\
5^n=5^5\;\Longrightarrow\;n=5[/dispmath] Konacno resenje zadatka dobijamo kada od ukupnog broja clanova uduzmemo broj poznatih clanova, tj. [inlmath]\enclose{box}{x=5-2=3}[/inlmath].
Radi provere mozes ispisati clanove posmatranog niza: [inlmath]1,5,25,125,625[/inlmath]. Iz ovoga vidimo da su svi uslovi iz postavke zadatka ispunjeni.

P.S. Preporucio bih ti da ne trazis tamo neke formule, vec da pokusas da zadatak resis pomocu osnovnih formula, cije se poznavanje podrazumeva. Nema smisla za svaki zadatak traziti formulu i samo ubaciti podatke, zar ne?
Pretpostavljam da potrosis dosta vremena dok ne napatrljas na neku nepotrebnu formulu.

Hvala puno! Ja sam izvlačio [inlmath]q[/inlmath] iz neke formule umjesto da sam to uradio iz najosnovnije Lijepa lekcija za ubuduće. Pozz

Frank je napisao:P.S. Preporucio bih ti da ne trazis tamo neke formule, vec da pokusas da zadatak resis pomocu osnovnih formula, cije se poznavanje podrazumeva. Nema smisla za svaki zadatak traziti formulu i samo ubaciti podatke, zar ne?

Upravo to, štaviše, kad primenjuješ neke formule bez razumevanja onda se može desiti i da ih pogrešno napišeš/prepišeš (kao što se i sad desilo). Pretpostavljam da je to što si napisao, [inlmath]\sqrt[k+1]\frac{b}{a}[/inlmath], trebalo da bude izraz za količnik [inlmath]q[/inlmath], a da [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] označavaju prvi i poslednji član niza. Ali u tom slučaju, taj izraz je pogrešan i treba zapravo da glasi [inlmath]\sqrt[k-1]\frac{b}{a}[/inlmath] (tj. [inlmath]k-1[/inlmath] umesto [inlmath]k+1[/inlmath]).
Mada, vrlo si lako do izraza za [inlmath]q[/inlmath] mogao doći i preko izraza za [inlmath]k[/inlmath]-ti član niza: [inlmath]a_k=a_1q^{k-1}\;\Longrightarrow\;q^{k-1}=\frac{a_k}{a_1}\;\Longrightarrow\;q=\sqrt[k-1]\frac{a_k}{a_1}[/inlmath]

Daniel je napisao:[inlmath]\Longrightarrow\;q=\sqrt[q-1]\frac{a_k}{a_1}[/inlmath]

Da se neko ne bi zbunio eventualno, pretpostavljam da si samo permutovao oznaku, Daniele.
Rekao bih, ako se ne varam, da na kraju treba izgledati ovako... [inlmath]q=\sqrt[k-1]\frac{a_k}{a_1}[/inlmath] tj. umesto [inlmath]q-1[/inlmath] treba [inlmath]k-1[/inlmath] iznad korena.

Naravno. Sasvim je logično da iz [inlmath]q^{k-1}=\frac{a_k}{a_1}[/inlmath] sledi [inlmath]q=\sqrt[k-1]\frac{a_k}{a_1}[/inlmath] (kada se izvuče [inlmath](k-1).[/inlmath] koren obe strane).

Ispravio sam, da ne bi dolazilo do zabune. Hvala na primedbi.

Pozdrav, može li neko malo pobliže objasniti kako se iz formule za [inlmath]n[/inlmath]-ti član niza dobije formula sa [inlmath]625[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath]?
Unaprijed zahvalan na pomoći.

Ako misliš na ovu formulu,

Frank je napisao:[dispmath]a_n=a_1\cdot q^{n-1}\\
625=\frac{q^n}{q}\;\Longrightarrow\;q^n=625q[/dispmath]

po uslovu zadatka je prvi član jednak [inlmath]1[/inlmath] pa se u [inlmath]a_n=a_1\cdot q^{n-1}[/inlmath] uvrštava [inlmath]a_1=1[/inlmath], a poslednji ([inlmath]n[/inlmath]-ti) član jednak je [inlmath]625[/inlmath] pa se uvrštava [inlmath]a_n=625[/inlmath]. Time se dobije [inlmath]625=q^{n-1}[/inlmath].
[inlmath]q^{n-1}[/inlmath] je, naravno, [inlmath]\frac{q^n}{q}[/inlmath].