MATEMANIJA

Pozdrav svima. Imam problem sa rešavanjem sledećeg zadatka:

Zbir prva tri člana geometrijskog niza je [inlmath]28[/inlmath]. Ako se drugom članu doda [inlmath]2[/inlmath] ti brojevi su prva tri člana aritmetičkog niza. Odrediti te nizove

Ono što znam uraditi je sledeće:
[dispmath]b_1+b_2+b_3=28\\
a_1=b_1,\;a_2=b_2+2,\;a_3=b_3[/dispmath] E sad šta dalje?

Unapred se zahvaljujem.

Treba resiti sistem
[dispmath]a_1+a_1q+a_1q^2=28\\
a_1q+2=\frac{a_1+a_1q^2}{2}[/dispmath]

Hvala na pomoći

Dobro vece, gospodo! Zeleo bih da podelim jos jedan nacin resavanja, ako se recimo neko nadje u situaciji da je zaboravio pravilo koje je pomenuo Frank

Frank je napisao:[dispmath]a_1q+2=\frac{a_1+a_1q^2}{2}[/dispmath]

Ja cu pokazati kako dolazim do [inlmath]b_2[/inlmath] vrednosti, ali moram i da dodam da ne znam kako da "finisiram" zadatak...

Naime, ako krenemo od pretpostavke da je prvobitan niz [inlmath]b_1+b_2+b_3=28[/inlmath] i ako uzmemo u obzir da je drugi clan aritmetickog niza za [inlmath]2[/inlmath] veci, onda ce vrednost niza biti [inlmath]30[/inlmath] po nekoj logici [inlmath]a_1+a_2+a_3=30[/inlmath]... Ja onda samo odradim lagano niz [inlmath]a_1+a_2+a_3=30[/inlmath] na sledeci nacin...

[inlmath]a_1+(a_1+1d)+(a_1+2d)=30[/inlmath] iz ovoga lako shvatimo da je [inlmath]a_1+d=10[/inlmath] tj. [inlmath]a_2=10[/inlmath] i onda ako znamo da je [inlmath]a_2[/inlmath] za [inlmath]2[/inlmath] veci od [inlmath]b_2[/inlmath] onda zakljucimo da je [inlmath]b_2=8[/inlmath]...

Odgovor je tu negde, i cini mi se da Frank zamenjuje vrednosti odnosno izraze koji su jednaki, ali nikako ne vidim izlaz iz ovog zacaranog kruga... Ne znam kako bih pronasao [inlmath]q[/inlmath] geometrijskog ili [inlmath]d[/inlmath] aritmetickog niza...

Evo male pomoći u vezi rešavanja gore pomenutog sistema:
Izraziš [inlmath]a[/inlmath] iz prve jednačine, izraziš [inlmath]a[/inlmath] iz druge jednačine i potom izjednačis te dve vrednosti. To malo sredis i dobiješ koliko iznosi [inlmath]q[/inlmath]. Dalje je lako...

Dobijem na kraju kvadratnu jednacinu, sto automatski znaci dvostruko resenje... Kada sredim da je [inlmath]a_1q=8[/inlmath] izraz
[dispmath]a_1q=\frac{a_1+a_1q^2}{2}\quad\text{odnosno}\quad20=\frac{8}{q}+\frac{8}{q}\cdot q^2[/dispmath] to sredim i dobijem tu pomenutu kvadratnu jednacinu... Ne izgleda mi tesko zadatak, ali nesto bas bagujem... Ne mogu da resim nikako

[dispmath]\begin{cases}
a_1+a_1q+a_1q^2=28\\
2a_1q+4=a_1+a_1q^2
\end{cases}[/dispmath][dispmath]a_1=\frac{28}{1+q+q^2}[/dispmath][dispmath]\frac{56q}{1+q+q^2}+4=\frac{28}{1+q+q^2}+\frac{28q^2}{1+q+q^2}[/dispmath][dispmath]\frac{14q}{1+q+q^2}+1=\frac{7}{1+q+q^2}+\frac{7q^2}{1+q+q^2}[/dispmath][dispmath]14q+1+q+q^2=7+7q^2[/dispmath][dispmath]6q^2-15q+6=0[/dispmath][dispmath]2q^2-5q+2=0[/dispmath][dispmath]q_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{4}[/dispmath][dispmath]q_1=\frac{1}{2};\;q_2=2[/dispmath] Dalje se lako izračunava [inlmath]a_1[/inlmath].

Griezzmiha je napisao:[inlmath]a_1+(a_1+1d)+(a_1+2d)=30[/inlmath] iz ovoga lako shvatimo da je [inlmath]a_1+d=10[/inlmath] tj. [inlmath]a_2=10[/inlmath] i onda ako znamo da je [inlmath]a_2[/inlmath] za [inlmath]2[/inlmath] veci od [inlmath]b_2[/inlmath] onda zakljucimo da je [inlmath]b_2=8[/inlmath]...

Ovo je odlična ideja i na ovaj način se zadatak rešava vrlo elegantno. Nastavljaš tako što u jednačini [inlmath]b_1+b_2+b_3=28[/inlmath] napišeš [inlmath]b_1[/inlmath] kao [inlmath]\frac{b_2}{q}[/inlmath], a [inlmath]b_3[/inlmath] napišeš kao [inlmath]b_2q[/inlmath], što si zapravo i uradio na sličan način,

Griezzmiha je napisao:[dispmath]a_1q=\frac{a_1+a_1q^2}{2}\quad\text{odnosno}\quad20=\frac{8}{q}+\frac{8}{q}\cdot q^2[/dispmath]

jedino što ti u levoj jednačini nedostaje dvojka, tj. treba da bude [inlmath]a_1q{\color{red}+2}=\frac{a_1+a_1q^2}{2}[/inlmath]. Ali svakako dobijaš kvadratnu [inlmath]2q^2-5q+2=0[/inlmath] (nakon što desnu jednačinu pomnožiš sa [inlmath]q[/inlmath] i podeliš sa [inlmath]4[/inlmath]). Nemoj da te buni što se dobiju dva rešenja ([inlmath]q_1=\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]q_2=2[/inlmath]), oba rešenja su validna, jer u tekstu zadatka nije rečeno da nizovi moraju biti rastući. Za [inlmath]q=2[/inlmath] dobićeš da su i aritmetički niz ([inlmath]4,10,16,\ldots[/inlmath]) i geometrijski niz ([inlmath]4,8,16,\ldots[/inlmath]) rastući, dok ćeš za [inlmath]q=\frac{1}{2}[/inlmath] dobiti da su i aritmetički niz ([inlmath]16,10,4,\ldots[/inlmath]) i geometrijski niz ([inlmath]16,8,4,\ldots[/inlmath]) opadajući.