MATEMANIJA

Pozdrav, imam jedno pitanje vezano za zadatak u kojem je potrebno upotrijebiti matematicku indukciju.
Zadatak glasi: Neka je [inlmath]a[/inlmath] proizvoljan prirodan broj. Dokazati da jednakost vrijedi za sve prirodne brojeve [inlmath]n[/inlmath].
[dispmath]\sum_{i=1}^n\frac{1}{(a+i)(a+i+1)}=\frac{n}{a(a+n)}[/dispmath] Ja sam poceo:
[dispmath]\frac{1}{(a+1)(a+2)}+\frac{1}{(a+2)(a+3)}+\cdots+\frac{1}{(a+n)(a+n+1)}=\frac{n}{a(a+n)}[/dispmath] Baza indukcije [inlmath]n=1[/inlmath]
[dispmath]\frac{1}{(a+1)(a+2)}=\frac{1}{a(a+1)}[/dispmath] E sada problem je sto baza indukcije nije zadovoljena. Po ovom tvrdnja nije tacna za sve prirodne brojeve [inlmath]n[/inlmath]. Posto baza indukcije, nije zadovoljena, nema potrebe raditi ostale korake dokazivanja putem matematicke indukcije? Da li ja negdje grijesim?

Pozdrav. Kao što si i sam zaključio, ovako napisana jednakost nije tačna. Moguće je i bez matematičke indukcije izračunati vrednost sume na levoj strani jednačine, ako se jedinica u brojiocu napiše kao [inlmath](a+i+1)-(a+i)[/inlmath], a zatim:
[dispmath]\sum_{i=1}^n\frac{(a+i+1)-(a+i)}{(a+i)(a+i+1)}=\sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{a+i}-\frac{1}{a+i+1}\right)=\\
=\frac{1}{a+1}-\cancel{\frac{1}{a+2}}+\cancel{\frac{1}{a+2}}-\cancel{\frac{1}{a+3}}+\cdots+\cancel{\frac{1}{a+n-1}}-\cancel{\frac{1}{a+n}}+\cancel{\frac{1}{a+n}}-\frac{1}{a+n+1}=\\
=\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a+n+1}=\frac{n}{(a+1)(a+n+1)}[/dispmath] što sasvim očigledno nije jednako [inlmath]\frac{n}{a(a+n)}[/inlmath].

Međutim, ako bi umesto sume [inlmath]\sum\limits_{i=1}^n[/inlmath] stajala suma [inlmath]\sum\limits_{i=0}^{n-1}[/inlmath], e tada bi jednakost već bila tačna.

Hvala na odgovoru!