MATEMANIJA

Zdravo svima!

Potrebna mi je pomoc oko sledeceg zadatka iz redova:

Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju [dispmath]\sum\limits_{k=2}^{\infty} \sqrt\frac{n^2+2n+5}{2n^3+7}\cdot\ln(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt(n)})[/dispmath]

Mislim da je ovaj red konvergentan i da to treba da se pokaze preko Abelovog ili Dirihleovog kriterijuma, ali ne uspevam da pokazem da red [dispmath]\sum\limits_{k=2}^{\infty}\ln(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}})[/dispmath]
konvergira (posto ovaj deo pod korenom diverigra, ali koristim da je monoton od dvojke pa nadalje i da ima limes u 0), a to sam pokusao preko poredbenog principa i Tejlorovog razvoja, medjutim uvek se zbunim jer dobijem [dispmath]\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}[/dispmath], a on divergira.

Hvala svima unapred na izdvojenom vremenu!

Sve najbolje

Red [dispmath]\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}[/dispmath] divergira kao sto si i napisala (ali problem pravi clan [inlmath]\left(\left(-1\right)^n/\sqrt{n}\right)^2=1/n[/inlmath] u razvoju).
Probaj da vidis kako se ponasa ceo izraz pod sumom: koren pod sumom se ponasa kao [inlmath]1/\sqrt{n}[/inlmath] kad [inlmath]n\rightarrow \infty[/inlmath], sto je taman dovoljno da se popravi konvergencija problematicnog clana u razvoju logaritma.

ubavic je napisao:Red [dispmath]\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}[/dispmath] divergira kao sto si i napisala (ali problem pravi clan [inlmath]\left(\left(-1\right)^n/\sqrt{n}\right)^2=1/n[/inlmath] u razvoju).
Probaj da vidis kako se ponasa ceo izraz pod sumom: koren pod sumom se ponasa kao [inlmath]1/\sqrt{n}[/inlmath] kad [inlmath]n\rightarrow \infty[/inlmath], sto je taman dovoljno da se popravi konvergencija problematicnog clana u razvoju logaritma.

Jasno, promaklo mi je skroz da vidim na taj nacin, hvala na pomoci!

ubavic je napisao:Red [dispmath]\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}[/dispmath] divergira kao sto si i napisala (ali problem pravi clan [inlmath]\left(\left(-1\right)^n/\sqrt{n}\right)^2=1/n[/inlmath] u razvoju).

Tek sad sam video da sam napravio gresku. Ovde sam naravno hteo da napisem
[dispmath]\sum\limits_{k=2}^{\infty}\ln\left(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right).[/dispmath]