MATEMANIJA

Pozdrav, imam jedno pitanje za forumase. Prva godina sam faksa i opet se susrecem sa matematickom indukcijom kao i sa dokazivanjem nejednakosti. U srednjoj skoli se nije toliko obracala paznja na dokazivanje nejednakosti i sada imam problema. Bukvalno ne mogu skontati koji je postupak tj. ne znam dalje od baze indukcije i induktivne pretpostavke. Zbunjuje me proces kod koraka, zato sto se mjesa bukvalno odjednom [inlmath]>[/inlmath] pa [inlmath]=[/inlmath] pa opet [inlmath]>[/inlmath].
Evo npr. ima da dokazemo [inlmath]2^n>n^2[/inlmath] za [inlmath]n\ge5[/inlmath]

Prvo dokazimo [inlmath]P(5)[/inlmath] tj. bazu indukcije:
[dispmath]2^5>5^2\;\Longrightarrow\;32>25[/dispmath] sto je tacno
Pretpostavimo da tvrdjenje vrijedi za [inlmath]n=k[/inlmath], [inlmath]k\ge5[/inlmath]
[dispmath]2^k>k^2[/dispmath] i dokazimo da vrijedi na [inlmath]n=k+1[/inlmath]
[dispmath]2^{k+1}=2\cdot2^k>2\cdot k^2>(k+1)^2\\
2k^2>k^2+2k+1\\
(k-1)^2>2[/dispmath] posto je [inlmath]k\ge5[/inlmath] ovaj uslov je zadovoljen i tvrdnja je dokazana.

Ovo je jedan lagan primjer ali ja ga opet ne mogu shvatiti kako smo dosli do ovoga, vidim da ima veze sa induktivnom pretpostvakom ali opet
Da li postoji neki ustaljeni nacin za dokazivanje nejednakosti pomocu matematicke indukcije, pa ako je neko voljan i slobodan da malo pojasni dokazivanje nejednakosti. Unaprijed hvala na odgovorima!!!

Pozdrav,
Prilikom dokazivanja pomocu matematicke indukcije imamo:
[inlmath]1.[/inlmath] Baza indukcije za [inlmath]n=1[/inlmath] (u tvom slucaju [inlmath]n\ge5[/inlmath], jer je to dato u uslovu zadatka).
[inlmath]2.[/inlmath] Pretpostavka: [inlmath]n=k[/inlmath]
[inlmath]3.[/inlmath] Indukcioni korak [inlmath]n=k+1[/inlmath]

Baza indukcije, dokazujemo za [inlmath]n\ge5[/inlmath]
[dispmath]32>25[/dispmath] Pretpostavka [inlmath]n=k[/inlmath]
U pretpostavci jednostavno zamjenis [inlmath]n[/inlmath] sa [inlmath]k[/inlmath].
[dispmath]2^k>k^2[/dispmath] Sada radiš indukcioni korak, u indukcionom koraku zamjenis [inlmath]n=k+1[/inlmath], pa imas:
[dispmath]2^{k+1}>(k+1)^2=\\
2^k\cdot2>(k+1)^2[/dispmath] E sada, u indukcionom koraku, vidimo da imamo pretpostavku koja kaze da je [inlmath]2^k>k^2[/inlmath], pa nju zamjenimo u indukcioni korak.
[dispmath]2k^2>(k+1)^2\\
2k^2>k^2+2k+1\\
k^2>2k+1\\
k^2-2k+1-2>0\\
(k-1)^2>2,\;k\ge5[/dispmath] [inlmath]k^2-2k+1-2>0[/inlmath] smo malo drugacije zapisali, kako bismo dobili sto laksi izraz, da bismo mogli zakljuciti da nejednakost vrijedi. I zaista, zakljucujemo da nejednakost vrijedi za [inlmath]k\ge5[/inlmath].