MATEMANIJA

pozdrav svima,
pokusavala sam na osnovu zadataka iz zbirke i prethodnih postova na temu nizova da shvatim sledece al mi i dalje nije jasno, pa bih bila zahvalna ako bi mogao neko da mi pojasni nacin odredjivanja broja clanova geometrijskog niza (uzela sam i neke primere):

• u zbirci mi pise da je broj clanova niza [inlmath]1+x^2+x^4+\cdots+x^{2n}[/inlmath] (gde je [inlmath]\left|x\right|<1[/inlmath]) ustvari [inlmath]n[/inlmath]. Ja sam uzela u obzir da je ovo moguce samo ako je [inlmath]n=0[/inlmath], a u tom slucaju bi imali [inlmath]a_0[/inlmath] umesto [inlmath]a_1[/inlmath] za prvi clan niza, pa je meni logicnije da bude [inlmath]n[/inlmath] (ukoliko pocnemo od [inlmath]x^2[/inlmath] clana) [inlmath]+1[/inlmath]
  
• kod niza [inlmath]1+2+2^2+2^3+\cdots+2^n[/inlmath] bih stavila [inlmath]n+1[/inlmath] broj clanova iz istog razloga (racunam da je [inlmath]n[/inlmath] kod niza prirodan broj, pa da ne moze [inlmath]2^0[/inlmath])
  
• kod niza [inlmath]1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^n}[/inlmath] mi nije jasan poslednji clan kao da je dodat na geometrijski niz, da li onda zbog toga [inlmath]n[/inlmath] (do poslednjeg clana obican geom. niz) [inlmath]+1[/inlmath] (ovaj poslednji) clanova?

(ovo mi treba kod odredjivanja sume geometrijske progresije, ali ono je lako ako naucim da odredjujem broj clanova niza)
izvinjavam se ako sam pravila neke greske, prvi put koristim latex

Pozdrav i dobro nam došla.

Kao što vidiš, korigovao sam LaTex. Generalno, sve ti je bilo kako treba, jedino je trebalo komande uokviriti odgovarajućim tag-ovima (inline ili equation). Naravno, ako bude problema u budućnosti, imamo uputstvo, imamo potforum, a tu smo i da pomognemo preko PP-a.

Što se samog pitanja tiče, prvo bih ti napomenuo da su svi tvoji primeri zapravo sume odgovarajućih nizova. Dakle, članovi niza bi (za prvi slučaj) bili [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]x^2[/inlmath], [inlmath]x^4[/inlmath] i tako redom.

Ako sam dobro razumeo pitanje, tebe buni razlog zbog koga za prvi član niza uzimamo slučaj kada je [inlmath]n=0[/inlmath], pa imamo da je [inlmath]a_1=x^0=1[/inlmath]? U najkraćem, uzimamo tako zato što je tako zadato u zadatku. Zbog toga je važno da vodimo računa o preciznosti izražavanja i načinu na koji je sam niz zadat u tekstu zadatka. Ako bi niz bio zadat kao u tvom primeru, prvi član bi bio za [inlmath]n=0[/inlmath], drugi član za [inlmath]n=1[/inlmath], i uvek bi redni broj člana za jedan bio veći od [inlmath]n[/inlmath] u stepenu. Ako bi, sa druge strane, tekst glasio "Zadat je niz čiji je opšti član [inlmath]x^{2n}[/inlmath] gde je [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath]...", onda bi prvi član niza bio za [inlmath]n=1[/inlmath], drugi član za [inlmath]n=2[/inlmath], pa bi redni brojevi članova niza bili jednaki [inlmath]n[/inlmath] u stepenu.

Nadam se da je ovo odgovor na tvoje pitanje. Ako nije, molim te da budeš malo preciznija ili da napišeš konkretan zadatak koji je problem.

P.S. Odgovor sam napisao uz pretpostavku da nula nije prirodni broj. Detaljniju diskusiju oko toga da li nula jeste ili nije prirodni broj pogledaj ovde.

Pa treba odrediti sumu [inlmath]1+x^2+x^4+\cdots+x^{2n}[/inlmath] i sad meni nije jasno zasto je kod formule [inlmath]S_n=\frac{1-q^n}{1-q}[/inlmath], [inlmath]q[/inlmath] na [inlmath]n[/inlmath]-ti stepen, a ne na [inlmath]n+1[/inlmath] (jer je npr. ovde kod sume [inlmath]n+1[/inlmath], odnosno [inlmath]1+2+2^2+2^3+\cdots+2^n[/inlmath]: [inlmath]S_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/inlmath]. Zbunjuje me odredjivanje broja članova niza kod formule [inlmath]S_n=a_n\frac{1-q^n}{1-q}[/inlmath].

@justwondering, smatram da bi najbolje bilo kada bi postavila osnovni tekst zadataka. Uz tako priložen tekst zadatka preciziraj deo koji ti nije jasan (11. tačka Pravilnika). Na taj način ćeš dosta olakšati onima koji žele da ti pomognu.
Formula za sumu geomtrijskog niza je [inlmath]\;\displaystyle S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q};\;\;q\ne1[/inlmath], gde je:
[inlmath]a_1[/inlmath] - prvi član geometrijskog niza
[inlmath]q[/inlmath] - količnik geometrijskog niza (tj. količnik dva uzastopna člana)
[inlmath]n[/inlmath] - broj članova geometrijskog niza
Ova formula važi isključivo za geometrijske nizove koji nisu konstantni, tj. količnik ([inlmath]q[/inlmath]) je različit od jedinice. Sumu konstantnog geometrijskog niza računamo po formuli [inlmath]\;\displaystyle S_n=a_1\cdot n[/inlmath] gde je [inlmath]a_1=a_2=a_3=\cdots=a_n[/inlmath].

justwondering je napisao:

• u zbirci mi pise da je broj clanova niza [inlmath]1+x^2+x^4+\cdots+x^{2n}[/inlmath] (gde je [inlmath]\left|x\right|<1[/inlmath])

Ne vidim svrhu uslova [inlmath]\left|x\right|<1[/inlmath]. Citirani niz nije beskonačan. Uslov [inlmath]\left|x\right|<1[/inlmath] je neophodan kod beskonačne progresije - kod beskonačnog geometrijskog niza (progresije) broj članova istog teži beskonačnosti, pa da bi suma bila konačna, količnik mora biti u intervalu [inlmath](-1,1)[/inlmath].
Kad već spomenuh beskonačnu geometrijsku progresiju, da navedem i formulu za sumu njenih članova
[dispmath]S_n=a_1\frac{1-\cancelto{0}{q^n}}{1-q}=\enclose{box}{\frac{a_1}{1-q}}[/dispmath]

justwondering je napisao:racunam da je [inlmath]n[/inlmath] kod niza prirodan broj, pa da ne moze [inlmath]2^0[/inlmath]

Indeks člana niza mora biti striktno prirodan broj. Npr: [inlmath]a_5[/inlmath] - broj pet u indeksu nam govori da je to peti član niza, logično. Ne možemo reći minus prvi ili [inlmath]0.5[/inlmath]-ti član niza.
S druge strane, u eksponentu uopšte ne mora da bude prirodan broj.

Mislim da shvatam u čemu je problem.

Da bi objašnjenje bilo jednostavnije, posmatraćemo niz koji si prvo navela u poslednjem postu i posmatraćemo prvih pet članova. Dakle posmatramo niz [inlmath]2^{2\cdot0}[/inlmath], [inlmath]2^{2\cdot1}[/inlmath], [inlmath]2^{2\cdot2}[/inlmath], [inlmath]2^{2\cdot3}[/inlmath], [inlmath]2^{2\cdot4}[/inlmath]. Opšti član niza bi bio [inlmath]2^{2\cdot n}[/inlmath] gde je [inlmath]n\in\mathbb{N}_0[/inlmath]. Naravno, ovaj niz ima beskonačan broj članova, ali uzmimo primer da je potrebno odrediti zbir prvih pet članova niza.

Prvi član: [inlmath]2^{2\cdot0}=1[/inlmath]
Drugi član: [inlmath]2^{2\cdot1}=4[/inlmath]
Treći član: [inlmath]2^{2\cdot2}=16[/inlmath]
Četvrti član: [inlmath]2^{2\cdot3}=64[/inlmath]
Peti član: [inlmath]2^{2\cdot4}=256[/inlmath]
Zbir: [inlmath]1+4+16+64+256=341[/inlmath]

Pokušajmo sada da primenimo onu poznatu formulu za zbir geometrijskog niza:
[dispmath]S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}[/dispmath] Prvi član niza: [inlmath]a_1=1[/inlmath]
Količnik niza: [inlmath]q=4[/inlmath]
Broj članova niza: [inlmath]5[/inlmath]. Mislim da je ovde glavni problem. Ovo [inlmath]n[/inlmath] na koje stepenujemo količnik niza, nije isto kao ono [inlmath]n[/inlmath] koje nam se pojavljuje u eksponentu, upravo zbog one nule. Na to sam mislio i u svom prethodnom postu. Zato sam i napomenuo da je jako bitno da se zadatak pažljivo pročita ili zada. Primenjujući formulu:
[dispmath]S_5=1\cdot\frac{1-4^5}{1-4}=341[/dispmath] Nadam se da je sada sve jasno. Ako nije, pošalji konkretan zadatak, pa da vidimo u čemu je problem.

Zasto je kod odrediti sumu [inlmath]1+x^2+x^4+\cdots+x^{2n}[/inlmath] i kod formule [inlmath]S_n=\frac{1-q^n}{1-q}[/inlmath], [inlmath]q[/inlmath] na [inlmath]n[/inlmath]-ti stepen, a ne na [inlmath]n+1[/inlmath]

ako je npr. kod [inlmath]1+2+2^2+2^3+\cdots+2^n[/inlmath]: [inlmath]S_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/inlmath], odnosno [inlmath]n+1[/inlmath] se uzima za broj clanova

U opštem obliku suma geometrijskog niza se računa po formuli [inlmath]S_n=\frac{1-q^n}{1-q}[/inlmath], gde je [inlmath]n[/inlmath] broj članova.

justwondering je napisao:ako je npr. kod [inlmath]1+2+2^2+2^3+\cdots+2^n[/inlmath]

Ovaj niz ima [inlmath]n+1[/inlmath] članova, i kad to [inlmath]n+1[/inlmath] zameniš u opštu formulu umesto [inlmath]n[/inlmath] dobijaš formulu

justwondering je napisao:[inlmath]S_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/inlmath]

Nadam se da ti je sad jasno. Stvar je samo u obeležavanju, nemoj da te to zbunjuje.

Sada već nisam siguran kako bih odgovorio ovde. Pogledaj primer iz mog prethodnog posta. Poslednji član, peti po redu glasi [inlmath]a_5=2^{2\cdot\color{red}4}=256[/inlmath]. Kada koristimo formulu za zbir geometrijskog niza, ona nam za prvih pet članova glasi [inlmath]S_n=a_1\frac{1-q^{\color{blue}5}}{1-q}[/inlmath]. Oba obojena broja predstavljaju [inlmath]n[/inlmath]. Razlikuju se za jedan zato što u prvom ("crvenom") slučaju počinjemo od nultog stepena, a u drugom ("plavom") od prvog člana.

miletrans je napisao:Razlikuju se za jedan zato što u prvom ("crvenom") slučaju počinjemo od nultog stepena, a u drugom ("plavom") od prvog člana.

Pa bas to sto se razlikuju za [inlmath]1[/inlmath] me navodi da je [inlmath]S_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/inlmath]?

Da, tako je. Zapravo, ako nastavljamo dalju diskusiju, moramo tačno i nedvosmisleno da definišemo šta nam je [inlmath]n[/inlmath]. U ovom slučaju koji si ti napisala, [inlmath]n[/inlmath] bi bilo "crveno" [inlmath]n[/inlmath] iz mog prethodnog posta. Dodamo jedan na njega (zbog one nule) i dobijemo "plavo" [inlmath]n[/inlmath].