MATEMANIJA

Dobar dan, gospodo!
Nemam bas neku ideju kako bih resio sledeci zadatak... Naime u zbirci zadataka (Stojana Radenovica), se ovaj zadatak zadaje kao primer za prethodno razjasnjen (ali meni nejasan) stav 1.1, koji glasi:

Neka je [inlmath]E\subset\mathbb{R}[/inlmath] razmak i neka [inlmath]f\colon E\to\mathbb{R}[/inlmath] tako da je [inlmath]f(E)\subset E[/inlmath]. Neka je zatim [inlmath]x_1\in E[/inlmath] i [inlmath]x_{n+1}=f(x_n)[/inlmath] za [inlmath]n\ge1[/inlmath] niz zadat rekurentno. Onda imamo:

1. Ako je [inlmath]f[/inlmath] rastuca (neopadajuca) funkcija na [inlmath]E[/inlmath], niz [inlmath]x_n[/inlmath] je monoton (raste, ne opada, opada, raste).


Zadatak: Dat je niz [inlmath]x_1=2000[/inlmath] i [inlmath]x_n=2^{1-x_{n-1}}[/inlmath] za [inlmath]n\ge2[/inlmath]. Naći [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}x_n[/inlmath]

Nemam ideju, niti ikakav pristup da pokusam da resim zadatak... Prosto receno, ne znam ni kako bih ga zapoceo. Tako da u sustini, iako Stav 1.1. Ima za cilj da pomogne u resavanju problema ove vrste, kod mene bar to nije slucaj. Neki hint, objasnjenje onoga sto Stav zeli da kaze, i eventualno objasnjenje onoga sto se u samom zadatku trazi bi bilo od velike pomoci.

Jos to da dodam, sama uloga ovog skupa/podskupa [inlmath]E[/inlmath] mi je skroz konfuzna... Sta on treba da predstavlja mi uopste nije jasno.

Pogledaj ovo objašnjenje za sličan zadatak. Ovde takođe ako pretpostaviš da limes konvergira, možeš naći „kandidata“ za limes, tako što u zadatoj rekurentnoj formuli, [inlmath]x_n=2^{1-x_{n-1}}[/inlmath], „limesuješ“ obe strane.
Sledeće što treba da uradiš to je da dokažeš da niz konvergira, i da, samim tim, taj kandidat za limes jeste traženi limes. Da bi dokazao konvergenciju ovog niza, možeš ga rastaviti na dva podniza, [inlmath]a_n[/inlmath] i [inlmath]b_n[/inlmath], pri čemu se [inlmath]a_n[/inlmath] sastoji od neparnih, a [inlmath]b_n[/inlmath] od parnih članova niza [inlmath]x_n[/inlmath]. Tada će važiti [inlmath]a_n=2^{1-2^{\Large1-a_{n-1}}}[/inlmath] (slično i za [inlmath]b_n[/inlmath]). Lako se može pokazati da je podniz [inlmath]a_n[/inlmath] monotono opadajući i odozdo ograničen nulom, a podniz [inlmath]b_n[/inlmath] monotono rastući i odozgo ograničen dvojkom – prema tome, oba su konvergentna (lako se pokazuje i da oba imaju istu graničnu vrednost kao i niz [inlmath]x_n[/inlmath], čime je dokazano da kandidat za limes tog niza jeste limes tog niza).

Slikovito možemo to zamisliti kao da vrednosti članova niza [inlmath]x_n[/inlmath] zapravo naglo opadaju od početne vrednosti [inlmath]x_1=2000[/inlmath], nakon čega prigušeno osciluju oko granične vrednosti.

Griezzmiha je napisao:Jos to da dodam, sama uloga ovog skupa/podskupa [inlmath]E[/inlmath] mi je skroz konfuzna... Sta on treba da predstavlja mi uopste nije jasno.

[inlmath]E[/inlmath] je neki podskup skupa realnih brojeva kojem pripadaju vrednosti svih članova niza [inlmath](x_n)[/inlmath]. To se može zaključiti iz [inlmath]x_1\in E[/inlmath] i [inlmath]f(E)\subset E[/inlmath], a pošto je [inlmath]x_{n+1}=f(x_n)[/inlmath] za [inlmath]n\ge1[/inlmath], induktivno sledi da svaki član [inlmath]x_n[/inlmath] pripada [inlmath]E[/inlmath]. Konkretno, u ovom primeru članovi niza obuhvataju vrednosti od [inlmath]2^{-1999}[/inlmath] (za [inlmath]x_2[/inlmath]) do [inlmath]2000[/inlmath] (za [inlmath]x_1[/inlmath]), pa će [inlmath]E[/inlmath] biti bilo koji podskup skupa realnih brojeva koji sadrži sve te vrednosti.

Ne uspevam da nadjem rezultat limesa.

Rešenje je trivijalno.
Limes niza je [inlmath]1[/inlmath].
Niz je konvergentan.

Dakle, kao što napisah gore, „limesujemo“ obe strane [inlmath]x_n=2^{1-x_{n-1}}[/inlmath] i dobijemo [inlmath]a=2^{1-a}[/inlmath], gde smo pretpostavili da limes postoji i da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n-1}=a[/inlmath]. Jednačina [inlmath]a=2^{1-a}[/inlmath] je transcendentna (ne može se rešiti analitički), ali se njeno rešenje lako „napipa“, to je [inlmath]1[/inlmath], kao što si i napisao. Ali, još uvek ne znamo da je to limes, već samo znamo da je to kandidat (i jedini kandidat) za limes. Da bismo dokazali da je to limes, moramo dokazati da niz konvergira (u prethodnom postu sam pokazao kako).

Moglo je i po teoremi. Funkcija [inlmath]f(t)=2^{1-t}[/inlmath] ima negativan prvi izvod za svako [inlmath]t[/inlmath], odakle sledi da niz sigurno ima dva podniza razlicita po monotonosti. Vezano za pocetak zadatka. Posle ostaje da se dokaze konvergencija i nadje limes.