MATEMANIJA

Pozdrav! Zadatak je sledeći:
Dati su članovi aritmetičke progresije [inlmath]a_{m+n}=A[/inlmath] i [inlmath]a_{m-n}=B[/inlmath]. Odrediti [inlmath]a_m[/inlmath] i [inlmath]a_n[/inlmath].
Rešenje zadatka opet nemam.

Uspeo sam da odredim [inlmath]a_m[/inlmath], ali zato [inlmath]a_n[/inlmath] ne mogu nikako. Postupak:
[dispmath]a_{m+n}=a_1+(m+n-1)\cdot d=A\\
a_{m-n}=a_1+(m-n-1)\cdot d=B[/dispmath] Sabiranjem ovih jednačina dobija se da je [inlmath]a_m=\frac{A+B}{2}[/inlmath]. Oduzimanjem istih se dobija "samo" da je [inlmath]nd=\frac{A-B}{2}[/inlmath]. Množenje, deljenje jednačina, ništa... Sta god da uradim ne mogu da dobijem jednačinu u kojoj će figurisati isključivo [inlmath]a_n,A,B[/inlmath].
Na koji način se dokopati [inlmath]a_n[/inlmath]-a? Hvala unapred!

Nema dovoljno podataka za određivanje [inlmath]a_n[/inlmath]. To se može i pokazati na dva različita primera. Neka je, za oba primera, [inlmath]a_{m+n}=A=5[/inlmath] i [inlmath]a_{m-n}=B=3[/inlmath]. Naravno, odavde je [inlmath]a_m=4[/inlmath] (aritmetička sredina [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]), to nije sporno.

U prvom primeru pretpostavimo da posmatrani aritmetički niz glasi [inlmath]1,2,3,4,5,6,\ldots[/inlmath] Odatle je [inlmath]m-n=3[/inlmath], [inlmath]m=4[/inlmath] i [inlmath]m+n=5[/inlmath]. Sledi da je [inlmath]n=1[/inlmath], a odatle da je [inlmath]a_n=1[/inlmath].

Zatim, u drugom primeru pretpostavimo da posmatrani aritmetički niz glasi [inlmath]3,4,5,6,7,8,\ldots[/inlmath] Odatle je [inlmath]m-n=1[/inlmath], [inlmath]m=2[/inlmath] i [inlmath]m+n=3[/inlmath]. Sledi da je [inlmath]n=1[/inlmath], a odatle da je [inlmath]a_n=3[/inlmath].

Dakle, oba ova niza zadovoljavaju uslove zadatka, međutim, za neke konkretne vrednosti [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] u jednom i u drugom slučaju dobijaju se različite vrednosti [inlmath]a_n[/inlmath]. Odatle se vidi da na osnovu raspoloživih podataka u tekstu zadatka, vrednost [inlmath]a_n[/inlmath] nije moguće jednoznačno odrediti. Da je zadat recimo prvi član niza, onda bi to bilo moguće.