MATEMANIJA

Pozdrav,
Zadatak glasi;
Drugi, prvi i treći član aritmetičkog niza, kod koga je diferencija [inlmath]d[/inlmath] različito od nule, u datom poretku čine geometrijsku progresiju. Odrediti količnik [inlmath]q[/inlmath].

Zadatak sam počeo rešavati ovako;
Aritmetički niz čine članovi redom [inlmath]a_1,a_2,a_3[/inlmath], a po uslovu zadatka, drugi, prvi i treći član a. niza u tom poretku čine g. niz pa ispada da Geometrijski niz izgleda ovako; [inlmath]a_2,a_1,a_3[/inlmath]

Prvo sam krenuo od geometrijske sredine pa potom išao na [inlmath]d[/inlmath]
[dispmath]a_1=\sqrt{a_2\cdot a_3}[/dispmath] Kako je prvi član geometrijskog niza u aritmetičkom prvi član, takođe kako je prvi član geometrijskog niza u aritmetičkom drugi član i kako je treći član g. niza u aritmetičkom takođe 3. član, dobijamo sledeće;
[dispmath]a_1=\sqrt{\left(a_1+d\right)\left(a_1+2d\right)}[/dispmath] Kad se izraz sredi, dobija se [inlmath]2d^2+3a_1d=0[/inlmath] i tu mi nešto govori da sam već pogrešio ali nisam mogao da uvidim šta.
Onda sam krenuo na aritmetičku sredinu i išao na [inlmath]q[/inlmath]
Kako je drugi član aritmetičkle progresije u geometrijskoj prvi, trebalo bi sve da svedemo na [inlmath]a_2[/inlmath], gde dobijamo;
[dispmath]a_2=\frac{a_2+a_2q}{2}[/dispmath] Kad se izraz sredi dobija se [inlmath]a_2-a_2q=0[/inlmath]
Ovde kada grupišem dobijem da je [inlmath]q=1[/inlmath] što nije tačno rešenje, već je tačno rešenje [inlmath]-2[/inlmath], ali zbog čega i kako je dobijeno da je [inlmath]q=-2[/inlmath], kad nije naglašeno da progresija nije ni rastuća ni opadajuća?
Hvala unapred na pomoći.

Hint:
[dispmath]a_2=\frac{a_1+a_3}{2}\;\Longrightarrow\;a_2=\frac{a_2q+a_2q^2}{2}[/dispmath]

Sad se dobija tačno, samo mi nije jasno zbog čega je [inlmath]a_2q[/inlmath] i [inlmath]a_2q^2[/inlmath], kad je prvi član a. niza u geometrijskom drugi, i tu bi valjda samo trebali da ostavimo [inlmath]a_2[/inlmath] isto, zbog čega ide [inlmath]a_2q^2[/inlmath] kad je treći član a. niza u geometrijskom takođe treći i on bi valjda trebalo da se piše kao [inlmath]a_2q[/inlmath]?

Ako označimo članove geometrijskog niza sa [inlmath]b_1,b_2,b_3[/inlmath] imamo da je [inlmath]b_1=a_2[/inlmath], [inlmath]b_2=a_1[/inlmath], [inlmath]b_3=a_3[/inlmath]. Odavde sledi: [inlmath]a_1=b_2=b_1q=a_2q[/inlmath] i [inlmath]a_3=b_3=b_2q=b_1q^2=a_2q^2[/inlmath].

Acim je napisao:Kad se izraz sredi, dobija se [inlmath]2d^2+3a_1d=0[/inlmath] i tu mi nešto govori da sam već pogrešio ali nisam mogao da uvidim šta.

Do tog mesta je sve u redu, primus ti je ukazao gde je bila greška. Ali, pokazao bih i drugi, po meni nešto kraći način. Pošavši od [inlmath]a_1^2=a_2a_3[/inlmath], umesto da [inlmath]a_2[/inlmath] i [inlmath]a_3[/inlmath] izrazimo preko [inlmath]a_1[/inlmath], izrazimo sve preko [inlmath]a_2[/inlmath] (nekako je zgodnije budući da je to srednji član aritmetičke progresije), čime dobijamo [inlmath](a_2-d)^2=a_2(a_2+d)[/inlmath], a odatle [inlmath]d^2=3a_2d[/inlmath], čija su rešenja [inlmath]d=0[/inlmath] i [inlmath]d=3a_2[/inlmath], pri čemu ovo prvo otpada zbog uslova zadatka [inlmath]d\ne0[/inlmath]. Odatle [inlmath]q[/inlmath] lako nalazimo kao [inlmath]q=\frac{a_1}{a_2}[/inlmath], izrazivši [inlmath]a_1[/inlmath] kao [inlmath]a_2-d[/inlmath].