MATEMANIJA

Zbir svih clanova opadajuceg geometrijskog niza je [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath], a zbir njihovih kvadrata [inlmath]\frac{1}{8}[/inlmath]. Drugi clan tog niza je:
Resenje [inlmath]\frac{51}{361}[/inlmath]

Ne znam uopste kako da postavim zadatak posebno me buni ovaj dio sa zbirom svih kvadrata niza kome ne znam ni broj clanova.

Pošto se radi o konvergentnom nizu
[inlmath]\frac{b_1}{1-q}=\frac{3}{2}[/inlmath] i [inlmath]\frac{b_1^2}{1-q^2}=\frac{1}{8}[/inlmath]
Reši ovaj sistem.
Da li je drugi član možda [inlmath]\frac{51}{361}[/inlmath]?

Ja kao rezultat takođe dobijam [inlmath]\frac{51}{361}[/inlmath]

Da moja greska to je tacno rjesenje. Mogu li ispraviti gore ikako da ne dolazi do zabune

Nisam znao da mogu samo zamjeniti kvadrate u formulu i da ce to biti formula za zbir kvadrata, hvala

Ne moraš da pamtiš to se lako može "izvesti" iz
[dispmath]S=b_1^2\left(1+q^2+q^4+\cdots+q^{2n}\right)[/dispmath]

losmi_78 je napisao:Mogu li ispraviti gore ikako da ne dolazi do zabune

Ispravljeno.

losmi_78 je napisao:Nisam znao da mogu samo zamjeniti kvadrate u formulu i da ce to biti formula za zbir kvadrata, hvala

Pa, da. Kod zbira kvadrata prvi sabirak će, sasvim logično, biti jednak kvadratu prvog člana geometrijskog niza. A odnos dva susedna sabirka biće jednak
[dispmath]\frac{b_{k+1}^2}{b_k^2}=\left(\frac{b_{k+1}}{b_k}\right)^2=q^2[/dispmath] Dakle, kvadrati članova nekog geometrijskog niza čiji je količnik [inlmath]q[/inlmath] predstavljaće nov geometrijski niz čiji je količnik [inlmath]q^2[/inlmath].

Jel moze neko da mi objasni zbog cega je zbir kvadrata [inlmath]\frac{b_1^2}{1-q^2}[/inlmath]. Posto smo na pripremama radili da je [inlmath]S_n=\frac{1-q^n}{1-q}[/inlmath]. Sta se tu desilo? Gde se izgubio [inlmath]1-q[/inlmath], nikako ne mogu da shvatim taj deo. Pokusavam da desifrujem ovo sta ste sve pisali u odgovorima ovog posta, ali mi ne ide bas.

[inlmath]S_n=b_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}[/inlmath]. Lose sam napisao formulu .
Isto vazi i ova formula da je [inlmath]S_n=\frac{b_1}{1-q}[/inlmath]. Stvarno ne znam kako se to dobija

Uslovi zadatka su
[dispmath]b_1+b_1 q+b_1q^2+b_1q^3+\cdots=\frac{3}{2}\\
b_1^2+b_1^2q^2+b_1^2q^4+b_1^2q^6+\cdots=\frac{1}{8}[/dispmath] Pošto je ovo konvergentan niz, tj. [inlmath]q<1[/inlmath], onda možemo koristiti formulu za izračunavanje sume svih (beskonačno mnogo) članova tog niza. Ta formula je [inlmath]S=\frac{b_1}{1-q}[/inlmath]
Sada tu formulu primijenimo na oba niza (obični članovi i njihovi kvadrati)
[dispmath]\frac{b_1}{1-q}=\frac{3}{2}\\
\frac{b_1^2}{1-q^2}=\frac{1}{8}[/dispmath] Prihvatljiva rješenja ovog sistema su [inlmath]q=\frac{17}{19},\enspace b_1=\frac{3}{19}[/inlmath], a drugi član je [inlmath]b_1q =\frac{51}{361}[/inlmath]

Kosinus je napisao:Pošto je ovo konvergentan niz, tj. [inlmath]q<1[/inlmath], onda možemo koristiti formulu za izračunavanje sume svih (beskonačno mnogo) članova tog niza. Ta formula je [inlmath]S=\frac{b_1}{1-q}[/inlmath]

To je zbog toga što, ako krenemo od formule za sumu [inlmath]S_n=b_1\frac{1-q^n}{1-q}[/inlmath], pa pustimo da [inlmath]n\to\infty[/inlmath], tada će [inlmath]q^n[/inlmath] težiti nuli (jer je [inlmath]q<1[/inlmath]), pa ostaje samo [inlmath]S_n=\frac{b_1}{1-q}[/inlmath].
A kako znamo da je [inlmath]q<1[/inlmath]? Pa, da je [inlmath]q>1[/inlmath], tada bi, za [inlmath]n\to\infty[/inlmath], izraz [inlmath]S_n=b_1\frac{1-q^n}{1-q}[/inlmath] težio beskonačnosti, a u ovom zadatku je rečeno da je suma svih članova (što odgovara limesu kad [inlmath]n\to\infty[/inlmath]) konačan broj.