Geometrijski niz – Zbirka zadataka za prijemni za Masinski fakultet 2021. godina
Poslato: Sreda, 09. Jun 2021, 17:51Pozdrav svima,
Naisao sam na jedan problem pri radjenju zbirke prijemnih zadataka za Masinski fakultet. Čini mi se da sam ga uradio skoro do kraja, ali dolazim do jednog dela gde dobijam neke brojeve totalno nelogične.
On glasi: Zbir tri broja je [inlmath]21[/inlmath], a zbir njihovih recipročnih vrednosti je [inlmath]\frac{7}{12}[/inlmath]. Ako ti brojevi predstavljaju uzastopne clanove rastuce geometrijske progresije, onda je njihov proizvod jednak:
Resenje: [inlmath]216[/inlmath]
Moj postupak:
[dispmath]q>1\\
a_1+a_2+a_3=21\\
\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}=\frac{7}{12}[/dispmath]
[dispmath]a_1+a_1\cdot q+a_1\cdot q^2=21\\
\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1\cdot q}+\frac{1}{a_1\cdot q^2}=\frac{7}{12}[/dispmath] Onda [inlmath]a_1[/inlmath] izrazavam iz prve jednacine i ubacujem u drugu (gde sam [inlmath]\frac{1}{a_1}[/inlmath] izvukao ispred zagrade):
[dispmath]a_1=\frac{21}{1+q+q^2}\\
\frac{1+q+q^2}{21}\cdot\frac{1+q+q^2}{q^2}=\frac{7}{12}[/dispmath] Pomnozio sam i prebacio [inlmath]21[/inlmath] na drugu stranu:
[dispmath]\left(\frac{1+q+q^2}{q}\right)^2=\frac{7}{12}\cdot21[/dispmath] Ovde sam se izgubio, korenovao sam celu jednacinu i tu je kraj. Ne znam sta dalje, bilo bi lako da su dobro poklopljeni brojevi ali ja dobijem:
[dispmath]\frac{1+q+q^2}{q}=\frac{\sqrt{21}}{2}[/dispmath] Shvatam da bi posle ovoga trebalo unakrsno da pomnozim da radim kvadratnu jednacinu, medjutim ovih [inlmath]\sqrt{21}[/inlmath] bas komplikuju celu situaciju. Pa ne znam da li je ovo pravi nacin ili mi se podvukla neka greska, molim za pomoc narode
Hvala unapred,
Zisti1912
Naisao sam na jedan problem pri radjenju zbirke prijemnih zadataka za Masinski fakultet. Čini mi se da sam ga uradio skoro do kraja, ali dolazim do jednog dela gde dobijam neke brojeve totalno nelogične.
On glasi: Zbir tri broja je [inlmath]21[/inlmath], a zbir njihovih recipročnih vrednosti je [inlmath]\frac{7}{12}[/inlmath]. Ako ti brojevi predstavljaju uzastopne clanove rastuce geometrijske progresije, onda je njihov proizvod jednak:
Resenje: [inlmath]216[/inlmath]
Moj postupak:
[dispmath]q>1\\
a_1+a_2+a_3=21\\
\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}=\frac{7}{12}[/dispmath]
[dispmath]a_1+a_1\cdot q+a_1\cdot q^2=21\\
\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1\cdot q}+\frac{1}{a_1\cdot q^2}=\frac{7}{12}[/dispmath] Onda [inlmath]a_1[/inlmath] izrazavam iz prve jednacine i ubacujem u drugu (gde sam [inlmath]\frac{1}{a_1}[/inlmath] izvukao ispred zagrade):
[dispmath]a_1=\frac{21}{1+q+q^2}\\
\frac{1+q+q^2}{21}\cdot\frac{1+q+q^2}{q^2}=\frac{7}{12}[/dispmath] Pomnozio sam i prebacio [inlmath]21[/inlmath] na drugu stranu:
[dispmath]\left(\frac{1+q+q^2}{q}\right)^2=\frac{7}{12}\cdot21[/dispmath] Ovde sam se izgubio, korenovao sam celu jednacinu i tu je kraj. Ne znam sta dalje, bilo bi lako da su dobro poklopljeni brojevi ali ja dobijem:
[dispmath]\frac{1+q+q^2}{q}=\frac{\sqrt{21}}{2}[/dispmath] Shvatam da bi posle ovoga trebalo unakrsno da pomnozim da radim kvadratnu jednacinu, medjutim ovih [inlmath]\sqrt{21}[/inlmath] bas komplikuju celu situaciju. Pa ne znam da li je ovo pravi nacin ili mi se podvukla neka greska, molim za pomoc narode
Hvala unapred,
Zisti1912