MATEMANIJA

Pozdrav svima,

Radio sam zbirku i naisao sam na zadatak koji glasi:

Tri prirodna broja predstavljaju prva tri clana geometrijskog niza, pri cemu je drugi clan za [inlmath]1[/inlmath] veci od prvog. Treci clan tog niza je:
Resenje: [inlmath]4[/inlmath]

Pretpostavljam da posto je [inlmath]b_2=b_1q[/inlmath] onda to treba da se izjednaci sa [inlmath]b_1+1[/inlmath]. Medjutim ne znam sta se radi posle, sta treba da izvucem i kako da nadjem koliko iznosi [inlmath]b_3[/inlmath].
Molim za pomoc, hvala unapred.

Dobro si krenuo. E sad, obrati pažnju na ovo crveno, to je bitan podatak:

Zisti1912 je napisao:Tri prirodna broja predstavljaju prva tri clana geometrijskog niza, pri cemu je drugi clan za [inlmath]1[/inlmath] veci od prvog.

Ne razumem, to su brojevi veci od nule, zar ne? Sta da radim sa tim, kako da dobijem da je [inlmath]b_1=1[/inlmath]? Mislim da je toliko

Možda ima neki ljepši postupak, ali evo mog:
[dispmath]b_2=b_1q=b_1+1[/dispmath][dispmath]b_1=b_2-1[/dispmath][dispmath]b_1=b_1q-1[/dispmath][dispmath]b_1(1-q)=-1[/dispmath][dispmath]b_1=\frac{1}{q-1}[/dispmath] I sad, pošto je [inlmath]b_1[/inlmath] prirodan broj, to znači da desna strana isto to mora biti, tako da [inlmath]1[/inlmath] mora biti djeljivo sa [inlmath]q-1[/inlmath]. Imamo samo jedan slučaj a to je [inlmath]\frac{1}{1}[/inlmath], što znači da mora biti [inlmath]q=2[/inlmath].

Zisti1912 je napisao:Ne razumem, to su brojevi veci od nule, zar ne?

Celi brojevi veći od nule.

Kosinus je napisao:[dispmath]b_1=\frac{1}{q-1}[/dispmath] I sad, pošto je [inlmath]b_1[/inlmath] prirodan broj, to znači da desna strana isto to mora biti, tako da [inlmath]1[/inlmath] mora biti djeljivo sa [inlmath]q-1[/inlmath]. Imamo samo jedan slučaj a to je [inlmath]\frac{1}{1}[/inlmath],

Odavde nije odmah vidljivo da imenilac mora biti [inlmath]1[/inlmath]. Desna strana bi takođe bila prirodan broj i da je imenilac, recimo, [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], ili, u opštem slučaju, da je imenilac [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath] ([inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath]).

Iz [inlmath]b_1(1-q)=-1[/inlmath] dobijamo [inlmath]q=1+\frac{1}{b_1}[/inlmath].
Pošto je [inlmath]b_3=b_2q[/inlmath], sledi [inlmath]b_3=b_2+\frac{b_2}{b_1}[/inlmath].
Pošto su [inlmath]b_3[/inlmath] i [inlmath]b_2[/inlmath] prirodni brojevi, sledi da i [inlmath]\frac{b_2}{b_1}[/inlmath] mora biti prirodan broj.
A pošto je [inlmath]b_2=b_1q[/inlmath], pa je odatle [inlmath]\frac{b_2}{b_1}=\frac{\cancel{b_1}q}{\cancel{b_1}}=q[/inlmath], sledi da je [inlmath]q[/inlmath] prirodan broj.
Pošto je [inlmath]q\ne1[/inlmath] (jer bi, u suprotnom, bilo [inlmath]b_2=b_1[/inlmath] što je u suprotnosti s tekstom zadatka), odatle je i [inlmath]q-1[/inlmath] prirodan broj, tako da nakon ovog zaključka smemo primeniti rezon koji je Kosinus pokazao.