MATEMANIJA

Pozdrav svima,

gledao sam zadatke sa danasnjeg prijemnog za Informacione tehnologije u masinstvu i bio je zadatak koji glasi:

Tri broja cija je suma [inlmath]93[/inlmath] predstavljaju uzastopne clanove geometrijske progresije. Ista ta tri broja predstavljaju prvi, drugi i sedmi clan aritmeticke progresije. Proizvod ta tri broja je:
Resenje: [inlmath]3375[/inlmath]

Nemam nikakvu ideju kako bi ovo moglo da se radi, pa sam odlucio vas da pitam.

Hvala unapred,
Zisti1912

Neka su ta tri broja [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath]. Postaviš sistem jednačina:

• Suma im je [inlmath]93[/inlmath], što znači [inlmath]a+b+c=93[/inlmath];
• To su uzastopni članovi geometrijske progresije, tj. [inlmath]b^2=ac[/inlmath];
• To su prvi, drugi i sedmi član aritmetičke progresije, tj. [inlmath]b=a+d[/inlmath] i [inlmath]c=a+6d[/inlmath].

Četiri jednačine, četiri nepoznate. Preostalo je još rešiti ovaj sistem, što ne bi trebalo da bude problem.

Cek sta, zbog cega je [inlmath]b^2=ac[/inlmath]? Da li je to neka formula za koju ne znam?

To važi zato što je u pitanju geometrijski niz, dakle svaki član (osim prvog) je geometrijska sredina njemu susjedna dva člana, dakle [inlmath]b=\sqrt{ab}[/inlmath]. Tako je geometrijski niz i dobio ime.

Ooooooooo, nisam znao. Korisna informacija. Hvala.

Reci mi da li postoji jos neka formula nalik toj za uzastopne clanove aritmetickog niza? Posto imam jos dva zadatka koje ne znam i planiram da pitam, ali bih hteo prvo sam da probam da ih resim.

Da malkice generalizujem Kosinusovu priču... Ako imamo uzastopne članove geometrijskog niza [inlmath]b_1[/inlmath], [inlmath]b_2[/inlmath] i [inlmath]b_3[/inlmath], onda [inlmath]b_1[/inlmath] možemo da napišemo kao [inlmath]\frac{b_2}{q}[/inlmath], a [inlmath]b_3[/inlmath] kao [inlmath]b_2q[/inlmath]. I mislim da je onda jasan odnos koji je pomenuo Kosinus. Slično tome, pokušaj sam da zaključiš u kom su odnosu (recimo) peti, šesti i sedmi član? Ili, prvi, četvrti i sedmi? Uopšteno, [inlmath]n[/inlmath]-ti, [inlmath](n+k)[/inlmath]-ti i [inlmath](n+2k)[/inlmath]-ti član?

Analogno tome, posmatramo tri uzastopna člana aritmetičkog niza. Prvi pišemo kao [inlmath]a_2-d[/inlmath], treći kao [inlmath]a_2+d[/inlmath], i mislim da je jasno kakav je odnos [inlmath]a_1[/inlmath], [inlmath]a_2[/inlmath] i [inlmath]a_3[/inlmath]. Pa onda pokušaj sam da zaključiš opšti slučaj analogno geometrijskim nizovima.

Zisti1912 je napisao:Reci mi da li postoji jos neka formula nalik toj za uzastopne clanove aritmetickog niza? Posto imam jos dva zadatka koje ne znam i planiram da pitam, ali bih hteo prvo sam da probam da ih resim.

Ne znam šta ti nije poznato. Ako se možda u tim zadacima nešto radi oko interpolacije (umetanja) članova između dva broja tako da nastane geometrijski niz, onda vrijedi formula
[dispmath]q=\sqrt[\Large k+1]{\frac{a}{b}}[/dispmath] Gdje je [inlmath]q[/inlmath] - količnik geometrijskog niza, [inlmath]k[/inlmath] - broj interpoliranih članova između prvog broja [inlmath]a[/inlmath] i drugog broja [inlmath]b[/inlmath].

- Pozdrav, ja sam radio na drugačiji način hteo bi samo da proverim da li sam dobro formule postavio:
[dispmath]a_1+a_2+a_3=93\\
a_2=a_1+d\\
a_3=a_1+6d\\
a_2=a_1q\\
a_3=a_1q^2[/dispmath] - I sad:
[dispmath]a_1q=a_1+d\\
a_1(q-1)=d[/dispmath][dispmath]a_1q^2=a_1+6d\\
a_1\left(q^2-1\right)=6d[/dispmath] - Pa se dobija:
[dispmath]\frac{d}{q-1}=\frac{6d}{q^2-1}[/dispmath] - Kada se ovo reši za [inlmath]q[/inlmath] dobija se kvadratna
[dispmath]q^2-6q+5=0[/dispmath] - Njena rešenja su [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath], ali ne može biti [inlmath]1[/inlmath] jer se ne poklapa sa uslovom zadatka tako da je rešenje:
[dispmath]q=5[/dispmath]
- I na kraju sam posle lako našao brojeve a to su [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]15[/inlmath] i [inlmath]75[/inlmath]

^ Sve ispravno, odlično i elegantno rešenje.