MATEMANIJA

Ćao svima! Interesuje da li bi neko mogao da mi pomogne oko jednog zadatka? Zadatak se sastoji iz četiri dela, i za svaki deo sam napisao svoje rešenje. Međutim, plašim se da nisam dovoljno precizan u nekim delovima (pogotovo u tvrdnji pod c))...

Za svaku od sledećih tvrdnji, daj odgovarajući primer ili dokaži zašto je nemoguće dati primer za tu tvrdnju:
a) Košijev niz koji sadrži podniz koji nije ograničen.
Moje rešenje: Tvrdnja je netačna.

Na osnovu Košijevog kriterijuma konvergencije, znamo da je Košijev niz [inlmath](x_n)[/inlmath] konvergentan.
Mi takođe znamo da svaki podniz konvergentnog niza konvergira ga istoj graničnoj vrednosti kao i niz.
Pošto je niz [inlmath](x_{n})[/inlmath] konvergentan, svaki podniz tog niza je ograničen.
Dakle, pošto su konvergentni nizovi ograničeni, onda su i svi podnizovi ograničeni.

b) Košijev niz koji nije monoton.
Moje rešenje: Tvrdnja je tačna.

Na primer: [inlmath](1, -\frac{1}{2}[/inlmath], [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath], [inlmath]-\frac{1}{4}[/inlmath], [inlmath]\frac{1}{5}[/inlmath], [inlmath]-\frac{1}{6}[/inlmath], [inlmath]\frac{1}{7}[/inlmath], [inlmath]-\frac{1}{8}, ...)[/inlmath]

c) Monotoni niz koji je divergentan i koji sadrži Košijev podniz.
Moje rešenje: Tvrdnja nije tačna.

Monotoni niz koji divergira nije ogranićen. Niz koji je monoton i nije ograničeni ne sadrži konvergentan podniz.

d) Niz koji nije ograničen, ali koji sadrži Košijev podniz.
Moje rešenje: Tvrdnja je tačna.

Na primer: [inlmath](1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, ..., 1, n, ...)[/inlmath] je neograničen niz koji sadrži Košijev podniz [inlmath](1, 1, 1, 1, 1, ...).[/inlmath]

Mislim da si dovoljno jasan. Mozda, deo pod c) "Niz koji je monoton i nije ograničeni ne sadrži konvergentan podniz" , može se izreći: "Svaki podniz monotonog i neograničenog niza je takođe monoton i neograničen, pa nije konvergentan, tj. Košijev."

Pod c)
Ako imas niz oblika [inlmath](-1)^n[/inlmath]
Bolcmanova teorema kaze da svaki ogranicen niz ima konvergentan podniz a kako je ovaj niz ogranicen on takodje ima i konvergentne podnizove kao na primjer podnizove sa pranim i nepranim indeksima.Neparni konvergiraju ka -1 a parni ka 1.Samim tim u R svaki konvergentan mora biti i Kosijev i obrnuto pa imas konvergentan podniz i ovo sto je rekao Fare je dovoljan uslov i mozda ono sto si ti zelio da pokazes