MATEMANIJA

Dat je niz sa opštim članom:
[dispmath]d_n=\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+2n+1}}+\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+2n+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+5n}},\;n\in\mathbb{N}[/dispmath] Izračunati graničnu vrednost niza [inlmath]d_n[/inlmath]

Rešenje je [inlmath]3[/inlmath].

Zadatak jesam rešio, ali ne najjasnijom metodom. Buni me samo deo kod određivanja broja članova. Intuitivno, od [inlmath]5n[/inlmath] sam oduzeo [inlmath]2n+1[/inlmath] i oduzeo još [inlmath]-1[/inlmath], što znači da je broj članova [inlmath]3n[/inlmath]. Zbog čega bi bila greška ako bih ostavio da je broj članova [inlmath]5n[/inlmath]?

Acim je napisao:Intuitivno, od [inlmath]5n[/inlmath] sam oduzeo [inlmath]2n+1[/inlmath] i oduzeo još [inlmath]-1[/inlmath], što znači da je broj članova [inlmath]3n[/inlmath].

Mislim da si to nepotrebno zakomplikovao. Bilo je dovoljno da uočiš da [inlmath]k[/inlmath]-ti sabirak glasi [inlmath]\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+2n+{\color{red}k}}}[/inlmath], što znači da poslednji sabirak možeš napisati kao [inlmath]\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+2n+{\color{red}3n}}}[/inlmath], odakle se vidi da sabiraka ukupno ima [inlmath]3n[/inlmath].

Acim je napisao:Zbog čega bi bila greška ako bih ostavio da je broj članova [inlmath]5n[/inlmath]?

Broj sabiraka bi bio [inlmath]5n[/inlmath] da je prvi sabirak glasio [inlmath]\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+1}}[/inlmath] a drugi [inlmath]\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+2}}[/inlmath].