MATEMANIJA

Zadatak: Dat je niz [inlmath]a_1=2[/inlmath], [inlmath]a_2=3[/inlmath], [inlmath]a_3=6[/inlmath], [inlmath]a_4=11[/inlmath], [inlmath]a_5=18[/inlmath],..., takav da razlike uzatopnih clanova obrazuju aritmeticki niz. Trazi se petstoti clan niza.
Resenje je: [inlmath]245<a_{500}<250000[/inlmath]
Pokusavam vec tri sata da uradim ovaj zadatak i ne ide.

Možda ti ovo može pomoći.

a₁ = 2

a₂ = 3

a₃ = 6

a₄ = 11

a₅ = 18

Razlike prvog stepena:

3 - 2 = 1

6 - 3 = 3

11 - 6 = 5

18 - 11 = 7

Razlike prvog stepena su aritmetički niz.

Razlike drugog stepena:

3 - 1 = 2

5 - 3 = 2

7 - 5 = 2

Obzirom da su razlike drugog stepena konstantne zadati red je kvadratna funkcija:

yₙ = a n² + b n + c

Kvadratna funkcija je definisana sa tri tačke pa uzmi bilo koje tri tačke da izračunaš koeficijente npr. prve tri.

n = 1 , y = 2

y₁ = a ∙ 1² + b ∙ 1 + c = 2

a + b + c = 2


n = 2 , y = 3

y₂ = a ∙ 2² + b ∙ 2 + c = 3

4 a + 2 b + c = 3


n = 3 , y = 6

y₃ = a ∙ 3² + b ∙ 3 + c = 6

9 a + 3 b + c = 6

Kada riješiš sistem:

a + b + c = 2

4 a + 2 b + c = 3

9 a + 3 b + c = 6

dobiješ da je:

a = 1 , b = - 2 , c = 3

Pa je tvoj zadani niz:

yₙ = n² - 2 n + 3

Vidjećeš da su zadane vrijedosti jednake vrijednostima izračunatim po ovom polinomu, uzimajući n = 1 , n = 2 , n = 3...

Razlike između članova su: 1 , 3 , 5 , 7... dakle aritmetički niz.

yₙ = n² - 2 n + 3

a₅₀₀ = 500² - 2 ∙ 500 + 3 = 249 003

Zašto je napisano da je rješenje:

245 < a₅₀₀ < 250 000 stvarno ne znam

Malo sam zbrzao rješenje ovog zadatka.

Nije

yₙ = a n² + b n + c

nego

aₙ = a n² + b n + c

Pa treba napisati ovako:

a₁ = 2

a₂ = 3

a₃ = 6

a₄ = 11

a₅ = 18

Razlike prvog stepena:

3 - 2 = 1

6 - 3 = 3

11 - 6 = 5

18 - 11 = 7

Razlike prvog stepena su aritmetički niz.

Razlike drugog stepena:

3 - 1 = 2

5 - 3 = 2

7 - 5 = 2

Obzirom da su razlike drugog stepena konstantne zadati red je kvadratna funkcija:

aₙ = a n² + b n + c


n = 1 , y = 2

a₁ = a ∙ 1² + b ∙ 1 + c = 2

a + b + c = 2


n = 2 , y = 3

a₂ = a ∙ 2² + b ∙ 2 + c = 3

4 a + 2 b + c = 3


n = 3 , y = 6

a₃ = a ∙ 3² + b ∙ 3 + c = 6

9 a + 3 b + c = 6

Kada riješiš sistem:

a + b + c = 2

4 a + 2 b + c = 3

9 a + 3 b + c = 6

dobiješ da je:

a = 1 , b = - 2 , c = 3

Pa je tvoj zadani niz:

aₙ = n² - 2 n + 3

Vidjećeš da su zadane vrijedosti jednake vrijednostima izračunatim po ovom polinomu, uzimajući n = 1 , n = 2 , n = 3...

Razlike između članova su: 1 , 3 , 5 , 7... dakle aritmetički niz.

aₙ = n² - 2 n + 3

a₅₀₀ = 500² - 2 ∙ 500 + 3 = 249 003

Zašto je napisano da je rješenje:

245 < a₅₀₀ < 250 000 stvarno ne znam

Mislim da je ipak mnogo jednostavnije tako što se prvo napišu razlike susednih članova niza:
[dispmath]a_2-a_1=1\\
a_3-a_2=3\\
a_4-a_3=5\\
a_5-a_4=7\\
\vdots\\
a_{k+1}-a_k=2k-1\\
\vdots\\
a_{500}-a_{499}=2\cdot499-1[/dispmath] pa se zatim sve ove jednačine saberu, na levoj strani se svašta-nešto pokrati, a na desnoj ostane suma aritmetičkog niza (pri čemu ta suma ima [inlmath]499[/inlmath] članova). Odatle je zatim vrlo lako odrediti [inlmath]a_{500}[/inlmath].

Podsetio bih obojicu na tačku 13. Pravilnika, koja zahteva korišćenje Latexa na ovom forumu. Latex se sasvim lako i brzo nauči, uputstvo je ovde.