MATEMANIJA

Zadatak glasi:
Neka je dat niz [inlmath]a_n=\sqrt[n]{\left(\frac{2}{1}\right)\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^2\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^3\cdots\left(\frac{n+1}{n}\right)^n}[/inlmath].
(a) Izračunati [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}a_n[/inlmath],
(b) Naći tačke nagomilavanja niza [inlmath]x_n=(a_n)^{(-1)^n}-\left(\frac{2n+1}{2n}\right)^{n\cdot(-1)^n}[/inlmath].

U delu pod (a) je potrebno primeniti neku transformaciju izraza da bi se odredila granična vrednost niza. Ali ne znam kako.
Ili možda mogu da primenim Štolcovu teoremu. Deo zadatka pod (b) je mnogo teži nego pod (a) i tu se uopšte ne snalazim.
Ako može pomoć...

Primeti da je [dispmath]a_n=\sqrt[n]{\left(\frac{2}{1}\right)\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^2\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^3\cdots\left(\frac{n+1}{n}\right)^n} = \sqrt[n]{\frac11\cdot\frac12\cdot\frac13\cdots\frac1n}(n+1) = \frac{n+1}{\sqrt[n]{n!}}[/dispmath]
Dalje možeš da iskoristiš Stirlingovu aproksimaciju [inlmath]n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac n e\right)^n[/inlmath].

Videćeš da se dobija jedna lepa granična vrednost. Deo pod b ne bi trebalo da bude težak (razdovojiš na podniz sa parnim i podniz sa neparnim indeksima)

Hvala na pomoći!

Mala primedba za @ubavic:
U knjigama, člancima i kod raznih autora vidim samo [inlmath]\sim[/inlmath] a ne ovo tvoje: [inlmath]\approx[/inlmath] u izrazu za Stirlingovu formulu.
U latex uputstvu na forumu nije najpreciznije navedeno značenje ovih simbola. Simbol "tilda" ([inlmath]\sim[/inlmath]) je rezervisan za "asimptotski jednako", dok je simbol "[inlmath]\approx[/inlmath]" rezervisan za "približno jednako", po mom mišljenju. Razlika je ogromna, približno se broj zaokruži, npr na dve decimale, a asimptotika je nešto drugo.
Uz veliki pozdrav za @ubavic, meni najdražem članu foruma!

Sasvim si u pravu desideri. Trebalo je da koristim asimptotsku oznaku [inlmath]\sim[/inlmath].
Hvala