MATEMANIJA

Rešiti rekurentnu relaciju:
[dispmath]a_{n+2}=\frac{a_n(a_{n+1})}{2a_{n+1}-a_n}[/dispmath] za [inlmath]n\ge0[/inlmath], gde je [inlmath]a_0=\frac{1}{2}[/inlmath], [inlmath]a_1=\frac{1}{3}[/inlmath].
Rešenje; [inlmath]a_n=\frac{3}{7-(-2)^n}[/inlmath]

Nisam uspeo da rastavim dovoljno izraz da bih uspeo da uvedem smenu - Logaritmovao sam sa osnovom [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], odakle se dobija:
[dispmath]\log_\frac{1}{2}(a_{n+2})=\log_\frac{1}{2}(a_n)+\log_\frac{1}{2}(a_{n+1})-\log_\frac{1}{2}(2a_{n+1}-a_n)[/dispmath] E sad, da nema ovog [inlmath]-a_n[/inlmath] kod poslednjeg logaritma, lako bih uveo smenu [inlmath]\log_\frac{1}{2}a_n=s_n[/inlmath], ali ne znam kako bih to izveo u ovom slučaju.
Hvala unapred na pomoći.

Iz date rekurentne relacije sledi izraz za recipročnu vrednost [inlmath]a_{n+2}[/inlmath]:
[dispmath]\frac{1}{a_{n+2}}=\frac{2a_{n+1}-a_n}{a_na_{n+1}}\\
\frac{1}{a_{n+2}}=\frac{2}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}[/dispmath] Na osnovu toga napišemo niz jednakosti:
[dispmath]\frac{1}{a_2}=\frac{2}{a_0}-\frac{1}{a_1}\\
\frac{1}{a_3}=\frac{2}{a_1}-\frac{1}{a_2}\\
\frac{1}{a_4}=\frac{2}{a_2}-\frac{1}{a_3}\\
\vdots\\
\frac{1}{a_{n-1}}=\frac{2}{a_{n-3}}-\frac{1}{a_{n-2}}\\
\frac{1}{a_n}=\frac{2}{a_{n-2}}-\frac{1}{a_{n-1}}\\
\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{2}{a_{n-1}}-\frac{1}{a_n}[/dispmath] Prilikom sabiranja levih i desnih strana, mnogo toga će se pokratiti, nakon čega se, uvrštavanjem datih vrednosti [inlmath]a_0[/inlmath] i [inlmath]a_1[/inlmath], dobije međurezultat
[dispmath]\frac{1}{a_{n+1}}=7-\frac{2}{a_n}[/dispmath] Dakle, sad nam je član niza izražen preko samo jednog prethodnog člana. Sada na sličan način ponovimo postupak:
[dispmath]\frac{1}{a_1}=7-\frac{2}{a_0}\\
\frac{1}{a_2}=7-\frac{2}{a_1}\\
\frac{1}{a_3}=7-\frac{2}{a_2}\\
\vdots\\
\frac{1}{a_{n-1}}=7-\frac{2}{a_{n-2}}\\
\frac{1}{a_n}=7-\frac{2}{a_{n-1}}[/dispmath] Da bi sada došlo do skraćivanja, potrebno je da pre sabiranja drugi red podelimo sa [inlmath]-2[/inlmath], treći red podelimo sa [inlmath]2^2[/inlmath], četvrti sa [inlmath]-2^3[/inlmath]... itd. do [inlmath]n[/inlmath]-tog reda koji delimo sa [inlmath](-2)^{n-1}[/inlmath].
Nakon uvrštavanja vrednosti [inlmath]a_0[/inlmath], računanja sume geometrijskog niza i malo sređivanja, dobije se rezultat koji si napisao.