MATEMANIJA

Pozdrav,
Nemam zapisan tekst zadatka, ali pretpostavljam da treba ispitati konvergenciju niza. Stvarno nemam ideju kako se rade ovakvi zadaci. U teoriji znam da treba ispitati da li je niz monoton, i onda proveriti da li je ogranicen/konvergentan ali nemam ideju kako zapisati postupak. Unapred zahvaljujem na objasnjenju.
[dispmath](A)\quad x_1>0,\quad x_{n+1}=\frac{1}{2}\cdot\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right);\\
(B)\quad x_1=a>0,\quad x_{n+1}=\frac{3x_n^2}{1+2x_n};[/dispmath]

Pozdrav. Prvo u izrazu za [inlmath]x_{n+1}[/inlmath] „limesuješ“ obe strane (pri čemu je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}x_n=L[/inlmath]), a zatim rešavanjem dobijene jednačine po [inlmath]L[/inlmath] odrediš koji su kandidati za limes. Dakle, ovime nisi dokazao postojanje limesa (tj. konvergenciju niza), već samo koje su moguće vrednosti limesa ukoliko niz konvergira. S tim u vezi, možeš pogledati ovu temu.

U prvom zadatku, dobićeš da su kandidati za limes [inlmath]L_1=-\sqrt a[/inlmath] i [inlmath]L_2=\sqrt a[/inlmath], odakle se odmah vidi da za [inlmath]a<0[/inlmath] nećemo imati kandidate za limes, tj. za [inlmath]a<0[/inlmath] niz sigurno divergira. Za [inlmath]a=0[/inlmath] stvar je prilično očigledna, dok je slučaj [inlmath]a>0[/inlmath] dosta zanimljiviji. Tada se iz uslova [inlmath]x_1>0[/inlmath] indukcijom može pokazati da će svi članovi niza biti pozitivni, tako da kandidata [inlmath]L_1=-\sqrt a[/inlmath] odbacujemo i ostaje nam samo kandidat [inlmath]L_2=\sqrt a[/inlmath]. Ukoliko je [inlmath]x_n=\sqrt a[/inlmath] stvar je takođe očigledna. Ukoliko je [inlmath]x_n>\sqrt a[/inlmath], svi naredni članovi niza takođe će biti veći od [inlmath]\sqrt a[/inlmath] a niz će počev od tog člana biti opadajući (ovo prepuštam tebi da dokažeš), tako da su ispunjeni uslovi za konvergentnost. Ukoliko je [inlmath]x_n<\sqrt a[/inlmath], naredni član [inlmath]x_{n+1}[/inlmath] biće veći od [inlmath]\sqrt a[/inlmath] (i ovo ti prepuštam da dokažeš), što će reći da samo [inlmath]x_1[/inlmath] može biti manji od [inlmath]\sqrt a[/inlmath] i, u tom slučaju, počev od [inlmath]x_2[/inlmath] svi članovi niza su veći od [inlmath]\sqrt a[/inlmath] – što znači, imajući u vidu prethodno dokazano, da će počev od tog člana svi naredni članovi biti veći od [inlmath]\sqrt a[/inlmath] i da će niz počev od tog člana biti opadajući – znači, opet konvergira.

---

U drugom zadatku treba da kao kandidate za limes dobiješ [inlmath]L_1=0[/inlmath] i [inlmath]L_2=1[/inlmath]. Dalje, indukcijom se pokazuje da će, pošto je [inlmath]x_1>0[/inlmath], takođe svi članovi niza biti pozitivni. Što se monotonosti tiče, za [inlmath]0<x_1<1[/inlmath] dobiće se da je niz opadajući (a pošto je ograničen odozdo takođe je i konvergentan), za [inlmath]x_1=1[/inlmath] da je konstantan (pa samim tim takođe konvergentan), a za [inlmath]x_1>1[/inlmath] da je rastući. E, u ovom trećem slučaju, pošto nemamo kandidate za limes koji su veći od jedinice, a članovi niza koji su veći od jedinice nastavljaju da rastu, jasno je da je niz divergentan.

Daniel je napisao:Prvo u izrazu za [inlmath]x_{n+1}[/inlmath] „limesuješ“ obe strane (pri čemu je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}x_n=L[/inlmath]), a zatim rešavanjem dobijene jednačine po [inlmath]L[/inlmath] odrediš koji su kandidati za limes.

Ne razumem ovaj postupak. Pogledao sam link ka sličnoj temi, ali tamo nisam naišao na puno toga korisnog. Može li neko detaljnije objašnjenje kako tražimo limes ili link ka sličnoj temi gde je to objašnjeno. Verovatno je trivijalna stvar u pitanju ali mozak mi trenutno ne radi

Pod pretpostavkom da je niz konvergentan, tada će, kako [inlmath]n[/inlmath] teži beskonačnosti, [inlmath]n[/inlmath]-ti član niza težiti graničnoj vrednosti tog niza, a takođe će i [inlmath](n+1).[/inlmath] član niza težiti graničnoj vrednosti tog niza. Zato kod konvergentnog niza važi i [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}x_n=L[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}=L[/inlmath] (gde je [inlmath]L[/inlmath] granična vrednost niza).
Ovo prethodno ne važi ako niz nije konvergentan. (Npr. kod divergentnog niza [inlmath]x_n=(-1)^n[/inlmath], limes za [inlmath]x_n[/inlmath] i limes za [inlmath]x_{n+1}[/inlmath] neće biti jednaki, već će jedan od njih biti [inlmath]-1[/inlmath], a onaj drugi će biti [inlmath]1[/inlmath].) Zato sam i napomenuo da se prethonim postupkom, izjednačavanjem limesa [inlmath]x_n[/inlmath] i limesa [inlmath]x_{n+1}[/inlmath], dobijaju samo kandidati za limes, ukoliko je niz konvergentan. Ti kandidati nam pružaju neke smernice pri određivanju monotonosti i ograničenosti, tj. pri ispitivanju konvergencije.
Npr. postupak pod [inlmath](A)[/inlmath] bio bi:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}x_n\\
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)=\lim_{n\to\infty}x_n\\
\frac{1}{2}\left(\lim_{n\to\infty}x_n+\frac{a}{\lim\limits_{n\to\infty}x_n}\right)=\lim_{n\to\infty}x_n\\
\lim_{n\to\infty}x_n=L\quad\Longrightarrow\quad\frac{1}{2}\left(L+\frac{a}{L}\right)=L\\
L+\frac{a}{L}=2L\\
L=\frac{a}{L}\\
L^2=a\\
L=\pm\sqrt a[/dispmath] Prema tome, [inlmath]-\sqrt a[/inlmath] i [inlmath]\sqrt a[/inlmath] biće kandidati za limes (ukoliko niz konvergira). Za dalje ispitivanje dao sam instrukcije u prethodnom postu, nadam se da je sad jasnije.