MATEMANIJA

Pozdrav, muči me određivanje jedne granične vrednosti u ovom zadatku:

Rekurentno zadat niz:
[dispmath]x_{n+1}=\frac{x_n}{1+x_n+x_n^2}[/dispmath] Jedini uslov:
[dispmath]x_1>0[/dispmath] Odrediti sledeće granične vrednosti: [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}x_n[/inlmath]; [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}nx_n[/inlmath]; [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n(1-nx_n)}{\ln n}[/inlmath]

Pre svega tražim graničnu vrednost za rekurentno zadat niz gde se dobija [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}=0[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}=-1[/inlmath] (negativno rešenje odbacujem zbog uslova [inlmath]x_1>0[/inlmath])

Dakle, odavde direktno dobijam i rešenje za prvu graničnu vrednost, [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0[/inlmath]

Za [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}nx_n[/inlmath] je malo teže, uvodim [inlmath]y_n=nx_n[/inlmath] tj. [inlmath]x_n=\frac{y_n}{n}[/inlmath] i [inlmath]x_{n+1}=\frac{y_{n+1}}{n+1}[/inlmath]

Kada se to zameni u početni rekurentno zadati niz dobije se da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}nx_n=1[/inlmath]

Ovaj primer mi pravi problem [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n(1-nx_n)}{\ln n}[/inlmath]. Kada probam da ga rešim na način na koji sam rešio prethodni primer, jednačina se previše zakomplikuje.

Evo ga moj pokušaj: Kao i u prethodnom slučaju uvodim npr. [inlmath]z_n=\frac{n(1-nx_n)}{\ln n}[/inlmath] odnosno [inlmath]x_n=\frac{n-\ln(n)z_n}{n^2}[/inlmath] i isto to za [inlmath]z_{n+1}[/inlmath]

Recimo da je [inlmath]R=\lim\limits_{n\to\infty}z_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}z_n[/inlmath]

Sada ubacivanjem [inlmath]R[/inlmath] dobijam
[dispmath]\frac{n+1-\ln(n+1)R}{(n+1)^2}=\frac{n-\ln(n)R}{n^2+n-\ln(n)R+\frac{n-\ln(n)R}{n^2}}[/dispmath] I ovo na dalje ne znam kako da sredim. Na pamet mi pada Lopital (pošto je zastupljen oblik [inlmath]\frac{\infty}{\infty}[/inlmath]) ili Tejlorove aproksimacije.

Neka je [dispmath]\frac{n(1-nx_n)}{\ln n}=\frac{a_n}{b_n}.[/dispmath] Pošto je niz [inlmath]b_n[/inlmath] rastući i teži beskonačnosti, primeni Štolcovu teoremu:[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}.[/dispmath] Posle uprošćavanja, razlomak u limesu proširi sa n. Imenilac tog razlomka teži ka [inlmath]\ln e=1[/inlmath]. Ostaje još brojilac... Primeni i da je [inlmath]\displaystyle\lim_{n\to\infty}nx_n=1[/inlmath]. ( A logaritma više nema. )

Hvala na odgovoru, nisam se setio Štolca! Imam još jedno pitanje vezano za ovakve tipove zadataka.

Šta raditi kada je npr. umesto [inlmath]x_1>0[/inlmath] dato [inlmath]x_1=a\in\mathbb{R}[/inlmath]? U prvom slučaju znam automatski da su svi članovi pozitivni, pa će i granična vrednost biti pozitivna, ali ne znam kako da to uradim u slučaju sa [inlmath]a\in\mathbb{R}[/inlmath]? Ako možeš da mi daš malo detaljniji odgovor na ovo pitanje bio bih ti prezahvalan.

I u zadacima drugačijeg tipa, ako u njima figuriše parametar [inlmath]a\in\mathbb{R}[/inlmath], ponekad zadatak "razbijemo" na tri jednostavnija problema: [inlmath]1.)\enspace a>0;\enspace 2.)\enspace a=0;\enspace 3.)\enspace a<0.\enspace[/inlmath] Prvi slučaj si rešio a drugi je trivijalan. Ostaje treći.
Pošto je [dispmath]1+x_n+x_n^2=1+2\cdot\frac{1}{2}\cdot x_n+x_n^2=\frac{3}{4}+\left(\frac{1}{2}+x_n\right)^2\ge\frac{3}{4}[/dispmath] ( kvadrat realnog broja je nenegativan ) sledi da svi članovi niza imaju isti znak kao prvi član, zato što je imenilac razlomka u rekurentnoj definiciji niza uvek pozitivan.

Hvala legendo! Evo baš sam naišao na primer [inlmath]x_{n+1}=x_n^2+x_n[/inlmath], [inlmath]x_1=a\in\mathbb{R}[/inlmath] i treba ispitati limese [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}x_n[/inlmath], [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}nx_n[/inlmath].

Potencijalna granična vrednost je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0[/inlmath]
Ne znam ako je ovo dobar način za rešavanje ovakvih zadataka ali ja sam uzeo i raspisao prva [inlmath]4[/inlmath] člana: [inlmath]x_2=a^2+a[/inlmath]; [inlmath]x_3=\left(a^2+a\right)^2+a[/inlmath]; [inlmath]x_4=\left(\left(a^2+a\right)^2+a\right)^2+a[/inlmath] ...

Ovde čini mi se ima više od 3 slučaja:
1. [inlmath]a>1[/inlmath] ovde je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\infty[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}nx_n=\infty[/inlmath] tj. oba divergiraju
2. [inlmath]a\in(0,1)[/inlmath] ovde je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}nx_n=0[/inlmath]
3. [inlmath]a=0[/inlmath] ovde je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}nx_n=0[/inlmath]
4. [inlmath]a\in(-1,0)[/inlmath] ovde je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}nx_n=0[/inlmath]
5. [inlmath]a<0[/inlmath] ovde je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\infty[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}nx_n=\infty[/inlmath] tj. oba divergiraju

Samo nisam siguran ako je sve ovo dovoljno ili je potrebno dokazati još nešto?

Još jednom, ali preciznije, o "razbijanju". Kad sam napisao "razbijemo" zadatak, mislio sam na razbijanje skupa, u ovom slučaju skupa realnih brojeva ( što se, pretpostavljam, vidi iz teksta u prethodnom postu ), u opštem slučaju to može biti neki interval, podskup skupa R, kojem parametar pripada ( može to biti i skup trouglova... ). Podskupovi na koje rastavljamo dati skup moraju biti disjunktni a njihova unija mora biti jednaka ( u ovom primeru ) skupu vrednosti parametra. ( Ne znam kako si došao do pet slučajeva koje navodiš, nisu dobro određeni i ne zadovoljavaju nijedan od navedena dva uslova. Interval u 4. slučaju je podskup intervala u 5. Verovatno je štamparska greška. U 5. slučaju treba da piše [inlmath]a<-1[/inlmath] ). A "kritične" vrednosti, odnosno tačke na brojnoj pravoj, u primerima kao što je ovaj, moramo odrediti iz uslova zadatka.
Iz definicije niza [inlmath]x_{n+1}=x_n^2+x_n[/inlmath], možemo zaključiti ( lako se dokazuje indukcijom ) da ako je neki član [inlmath]x_k[/inlmath] jednak nuli, onda su i svi naredni članovi nula. Prema tome, ako stavimo da je [inlmath]x_1=a=0[/inlmath] dobijamo nula niz... Dakle "kritična vrednost" za parametar a je broj 0. Da li postoji još neka kritična vrednost? Proverimo da li postoje i neke druge vrednosti parametra za koje je [inlmath]x_{n+1}=0:\qquad[/inlmath][inlmath]x_n^2+x_n=0\iff x_n(x_n+1)=0\iff x_n=0\lor x_n=-1[/inlmath]. Sledi da je druga "kritična" vrednost parametra a broj -1. Prema tome skup realnih brojeva treba "razbiti" na sledećí način [inlmath](-\infty,-1)\cup\{-1\}\cup(-1,0)\cup\{0\}\cup(0,+\infty)[/inlmath] ( pet slučajeva ).
I još nešto. "Raspisao si 4 člana..." Bolje je, ako je problem složen, rešavati ga najpre u jednostavnijem obliku, u ovom slučaju tako što ćemo proučiti neki konkretan niz, za neko određeno a iz nekog intervala. To što zaključimo o ponašanju konkretnog niza, verovatno važi i za ostale nizove koje generišu parametri iz uočenog intervala. To ti je orijentacija šta da dokazuješ.
Kako nastaviti zadatak? Iz definicije niza možemo zaključiti da ako je neki član niza pozitivan, onda su i svi naredni članovi pozitivni ( indukcija..). Ako definiciju napišemo [inlmath]x_{n+1}-x_n=x_n^2\ge0[/inlmath], zaključujemo da je niz neopadajući, a za pozitivno a, strogo rastući. Pa ako izračunaš nekoliko članova niza gde je [inlmath]x_1=1[/inlmath], zaključićeš da niz divergira... Grešku imaš i u 2. slučaju. Posmatraj niz [inlmath]x_1=a=\frac{1}{2}[/inlmath]. Nije konvergentan.