MATEMANIJA

Pozdrav svima,
Krenucu sa primjerom imamo opsti clan brojnog reda [inlmath]a_n[/inlmath], uzimamo opsti clan drugog brojnog reda [inlmath]b_n[/inlmath] i to [inlmath]a_n\le b_n[/inlmath], dokazujemo da red sa opstim clanom [inlmath]b_n[/inlmath] konvergira pa onda iz toga dobijamo da red sa opstim clanom [inlmath]a_n[/inlmath] konvergira. Moje pitanje je kako biram [inlmath]b_n[/inlmath] i kako da znam da smijem bas taj da uzmem, zasto ne bih samo lupio neki koji meni odgovara. Da li mozda postoji neka knjiga koja bolje objasnjava ovo ogranicavanje reda redom.

Opšti član reda [inlmath]b_{n}[/inlmath] ne biramo proizvoljno. On se dobija od opšteg člana reda [inlmath]a_n[/inlmath] , pomoću poznatih (dokazanih) nejednakosti. Biramo ga tako da dokazivanje konvergencije tog reda bude jednostavnije od dokazivanja konvergencije reda [inlmath]a_n[/inlmath].

Primer 1. Neka je [inlmath]a_n=\frac{1}{1+c^n}[/inlmath], gde je c>1.
Pošto je [inlmath]1+c^n>c^n\iff \frac {1}{1+c^n}<\frac{1}{c^n}[/inlmath], biće [inlmath]b_{n}=\frac{1}{c^n}[/inlmath].

Primer 2. Neka je [inlmath]a_n=2^{n}\sin\frac{x}{3^n}, (0<x<3\pi)[/inlmath].
Pošto za [inlmath]0<t<\frac{\pi}{2}[/inlmath] važi nejednakost [inlmath]\sin t<t[/inlmath], za [inlmath]n\ge 2[/inlmath] imamo da je [inlmath]2^{n}\sin\frac{x}{3^n}<2^{n}\frac{x}{3^n}=x\cdot (\frac{2}{3})^n[/inlmath] biće [inlmath]b_{n}=(\frac{2}{3})^n[/inlmath].

Primer 3. Neka je [inlmath]a_n=\frac{(n!)^2}{2n!}[/inlmath]. [dispmath]\frac{(n!)^2}{2n!}=\frac{n!}{2^{n}\cdot (2n-1)!!}<\frac{1}{2^n}=b_{n}.[/dispmath]

Pošto sam u prethodnoj poruci pogrešio ( izostavio sam zagrade u 3. primeru) , evo ispravke:
Primer 3. Neka je [inlmath]a_n=\frac{(n!)^2}{(2n)!}[/inlmath] [dispmath]\frac{(n!)^2}{(2n)!}=\frac{n!}{2^{n}\cdot (2n-1)!!}<\frac{1}{2^n}=b_{n}.[/dispmath] Izvinjavam se i ujedno zahvaljujem Danielu što je uočio grešku.

jans je napisao:[inlmath]a_n=\frac{(n!)^2}{(2n)!}[/inlmath] [dispmath]\frac{(n!)^2}{(2n)!}=\frac{n!}{2^{n}\cdot (2n-1)!!}<\frac{1}{2^n}=b_{n}.[/dispmath]

da li bi mogao malo detaljnije da objasnis ovo nisam siguran da znam sta znaci "!!".

Dvostruki faktorijel. Ovde je (počev negde od sredine posta) fino objašnjen.