MATEMANIJA

Pozdrav!
Treba mi pomoc oko sledećeg primera.
Dokazati da za prirodan broj [inlmath]n[/inlmath] vazi nejednakost:
[dispmath]\frac{3\cdot7\cdot11\cdots(4n-1)}{5\cdot9\cdot13\cdots(4n+1)}<\sqrt\frac{3}{4n+3}[/dispmath] Uspevam da proverim da nejednakost vazi za [inlmath]n=1[/inlmath] ali se posle toga pogubim pogotovo kada treba da dokažem da nejednakost vazi za [inlmath]n+1[/inlmath]. Uspevam da iskoristim pretpostavku za [inlmath]n[/inlmath] ali dalje od toga ne.
Hvala na pomoći!

[inlmath]T(k+1)[/inlmath] bi, dakle, glasio
[dispmath]\frac{3\cdot7\cdot11\cdots(4k-1)}{5\cdot9\cdot13\cdots(4k+1)}\cdot\frac{4k+3}{4k+5}<\sqrt\frac{3}{4k+7}[/dispmath] i to je ono što treba dokazati.

Prema indukcionoj pretpostavci [inlmath]T(k)[/inlmath], prvi razlomak na levoj strani je manji od [inlmath]\displaystyle\sqrt\frac{3}{4k+3}[/inlmath], te za levu stranu možemo pisati
[dispmath]\frac{3\cdot7\cdot11\cdots(4k-1)}{5\cdot9\cdot13\cdots(4k+1)}\cdot\frac{4k+3}{4k+5}<\frac{4k+3}{4k+5}\sqrt\frac{3}{4k+3}=\frac{\sqrt{3(4k+3)}}{4k+5}[/dispmath] Preostalo je još da dokažeš da je [inlmath]\displaystyle\frac{\sqrt{3(4k+3)}}{4k+5}<\sqrt\frac{3}{4k+7}[/inlmath], što pretpostavljam da ti neće biti problem da uradiš.

Nisam baš sigurna kako.

Da li misliš na poslednju nejednakost?
Trebalo bi da pitanja budu precizna i konkretna. Bilo bi dobro da u poruci napišeš ( bar delimično ) postupak koji si primenila u rešavanju i da kažeš šta pričinjava problem ( komentar se odnosi i na prvu poruku, onu kojom si otvorila ovu temu ). ( Pogledaj Pravilnik foruma, pravilo 6. "Klikni" na to pravilo da bi ga videla u celini.) Inače ti "štediš" svoje vreme, a ne vodiš računa o vremenu člana koji ti pomaže ( pa osoba koja pokušava da ti pomogne mora više da piše i da ti možda objašnjava nešto što nije potrebno zato što to znaš ).
Pretpostavljam da ne znaš kako da dokažeš poslednju nejednakost koju je u postu napisao Daniel. Primeni činjenicu da od dva pozitivna broja, manji broj ima manji kvadrat a važi i obrnuto, odnosno matematički zapisano
[dispmath](a>0 \land b>0) \Rightarrow (a<b \Leftrightarrow a^2<b^2).[/dispmath] Drugim rečima, "Kvadriraj" tu nejednakost a onda je uprosti. Nešto će se skratiti, nešto oduzeti, a na kraju ćeš imati nejednakost koja je očigledno tačna.

Da, mislila sam na poslednji korak. Hvala puno!