MATEMANIJA

Kako biste izabrali šesti broj u nizu: [inlmath]1,1,9,4,125,\ldots[/inlmath]?

Dobro došao na forum!
Pošto u poruci nije ostavljen propratni komentar niti je naveden „izvor“ zadatka, nije jasno da li očekuješ pomoć, ili „proveravaš“ članove foruma.
Napominjem da zadatak nema jedinstveno rešenje. Moguće je definisati niz tako da će prvih pet članova biti navedeni brojevi, a šesti član broj koji nije jednak broju koji je „zamislio“ autor zadatka.

Hvala na dobrodošlici.
Moja namera nije bila da tražim pomoć, niti da testiram znanje korisnika foruma. Samo me je zanimalo kako razmišljaju o datom pitanju. Naravno, postoji više odgovora ili rešenja.
U osnovi, sve se svodi na to kako se tretira ista vrednost prvog i drugog člana.

• Prvi član može biti: [inlmath]1^n[/inlmath], [inlmath]n=0[/inlmath] do beskonačnosti
• Drugi član može biti: [inlmath]n^0[/inlmath], [inlmath]n=1[/inlmath] do beskonačnosti

Ali, ako je u pitanju niz, onda sam mislio da, osim ako nije drugačije navedeno, logično je da se baza smatra rednim brojevima.
Dakle, ako imamo redne brojeve [inlmath]1,2,3,4,5,\ldots[/inlmath], kao bazu i vrednosti pojedinačnih članova [inlmath]1,1,9,4,125[/inlmath], onda šesti broj može biti samo [inlmath]36[/inlmath].
Nisam matematičar i naravno da mogu biti u krivu.

Odgovoriću kasnije na tvoju poruku. Pre toga ti postavljam slično ( tvoje preinačeno ) pitanje:
Kako ćeš izabrati šesti broj u nizu: [inlmath]1,1,1,1,1,[/inlmath]?

Pre nego što odgovorim na moje pitanje, ponoviću neke činjenice o nizovima.
Niz je preslikavanje, odnosno funkcija čiji domen jeste skup prirodnih brojeva. Nizove najčešće obeležavamo malim slovom, a indeks uz slovo govori koji redni broj u nizu ima posmatrani član. Napominjem da, u tekstu koji sledi, zbog kraćeg zapisivanja, slovo [inlmath]n[/inlmath] je neki prirodan broj.

Opšti član niza [inlmath]a_n[/inlmath] ( ako smo niz obeleželi slovom [inlmath]a[/inlmath] ) najčešče definišemo formulom. Na primer formulom [inlmath]a_n=5n-2[/inlmath] definišemo jedan aritmetički niz. Prvih pet članova tog niza jesu brojevi: [inlmath]3, 8, 13, 18, 23[/inlmath]. Niz možemo definisati i pomoću dve ( ili više ) formule, uz kriterijum na osnovu kog odlučujemo koju od navedenih formula treba da koristimo za izračunavanje odgovarajućeg člana.

Ako znamo formulu za izračunavanje opšteg člana niza, onda možemo izračunati i ispisati kolikogod želimo prvih članova tog niza. Obrnuto ne važi. Ako znamo nekoliko prvih članova nekog niza a nemamo drugih podataka o tom nizu, onda nije moguće jednoznačno odgovoriti koji je naredni član tog niza. Naredni član može da bude bilo koji broj. Objasniću to na primeru niza koji počinje sa pet jedinica.

• Ako je niz definisan formulom [inlmath]a_n=1[/inlmath], onda su svi članovi pa i šesti član jednak broju [inlmath]1.[/inlmath]
• Ako je [inlmath]c[/inlmath] proizvoljan ( fiksiran ) broj, a niz definisan formulom
  [dispmath]b_n=1+\frac{1}{2} \cdot (2c+4-n)(1+sgn(n-6)),[/dispmath] prvih devet članova tog niza je: [inlmath]1, 1, 1, 1, 1, c, 2c-2, 2c-3, 2c-4.[/inlmath] Napominjem da je ovaj „niz“ ( prethodnom formulom je definisano bezbroj različitih nizova ) jedna od beskonačno mnogo različitih mogućnosti definisanja „nizova“ koji počinju sa pet jedinica a šesti član je broj [inlmath]c.[/inlmath]
  Naravno, umesto tih ( pet ) jedinica mogu da budu nanizani i neki drugi, dakle i "tvoji" brojevi [inlmath]1, 1, 9, 4, 125.[/inlmath]

Pošto u drugom postu nisi dobro objasnio koji niz posmatraš, pretpostavljam da je u pitanju niz: [inlmath]1^1, 2^0, 3^2, 4^1, 5^3, 6^2, 7^4, 8^3, 9^5, 10^4,...[/inlmath] Ovaj niz možemo definisati pomoću dve formule[dispmath]c_n=\begin{cases}
n^{\frac{n+1}{2}}, & ako \enspace je \enspace n \enspace neparan\\
n^{\frac{n-2}{2}}, & ako \enspace je \enspace n \enspace paran
\end{cases}[/dispmath] ili kraće
[dispmath]c_n=\frac{1+(-1)^{n-1}}{2} \cdot n^{\frac{n+1}{2}}+\frac{1+(-1)^{n}}{2} \cdot n^{\frac{n-2}{2}}.[/dispmath]
Predlažem ti da, imajući u vidu prethodna objašnjenja, definišeš novi niz tako da prvih pet članova tog niza bude jednako sa prvih pet članova niza [inlmath]c_n[/inlmath] a da počev od šestog, članovi tih nizova budu različiti.

Pošto se autor teme nažalost ne javlja, a šteta bi bilo da tema ostane nedovršena, naveo bih ja primer jednog takvog niza, a baš bi me zanimalo, jans, jesmo li na isti niz pomislili?
[dispmath]a_n=\begin{cases}
n^\frac{n+1}{2}, & n\text{ neparno}\\
\left(\frac{n}{2}\right)^\frac{n}{2}, & n\text{ parno}
\end{cases}[/dispmath]

Pošto je Jans u osnovi sve rekao, ali nisam primetio da je neko drugi zainteresovan za to, više nisam odgovarao na temu. Već sam opisao kako sam razmišljao.
Isto preslikavanje prva dva člana u smislu
[inlmath]1^1[/inlmath] i [inlmath]1^2[/inlmath] ili [inlmath]1^1[/inlmath] i [inlmath]\left(\frac{2}{2}\right)^2[/inlmath] nekako mi ne deluje logično u smislu da se svaki uzastopni broj u nizu koristi u svom osnovnom obliku.
Možda bi bilo jasnije kada bih odmah zapisao ono što sam nazvao nizom: „jedan korak nazad, dva napred“.
Onda formula glasi:
[dispmath]c_n=n^{int\frac{(n-1)}{2}+(n mod 2)}[/dispmath] Na ovaj način dobijamo stepene [inlmath]1,0,2,1,3,2,\ldots[/inlmath]

Najpre da poslednju formulu u prethodnom postu, pošto je napisana u programskom jeziku, "prevedemo" na matematički jezik. Ako članove niza obeležimo slovom d ( da bi pojednostavili eventualnu diskusiju ), matematička formula može da bude [dispmath]d_n =n^{\left\lfloor {\frac{n-1}{2} } \right\rfloor +n-2 \cdot \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor }.[/dispmath] Iako se formule koje definišu nizove c i d formalno razlikuju, može se dokazati da su ti nizovi jednaki.

Danielu mogu odgovoriti da nisam mislio na neki konkretan niz.
A da bi sve ovo bolje razjasnili, postaviću još jedno pitanje.
Prvih osam članova navedenog niza c jesu naredni brojevi [inlmath]1, 1, 9, 4, 125, 36, 2401, 512[/inlmath]. Kako da definišemo novi niz tako da prvih osam članova tog niza budu navedeni brojevi, a da naredni članovi tog niza i niza c budu različiti?

E vidi, ponovo sam premešten u prvobitno temo. Ali nema veze.
jans, zahvaljujem ti na ispravkih mojih formula, koje su dapače pisane u formi excela
Ali moram i ja tebe ispraviti. Naime tvoj zapis formule ne daje pravih rezultata. Po tvoji formuli snalazi se, da su potencije [inlmath]1,\,1,\!5,\,2,\,2,\!5,\ldots[/inlmath] a po mojoj [inlmath]1,0,2,1,3,\ldots[/inlmath]
U moji formuli znači INT cijeli broj kvocienta, a MOD2 ostatak od dijeljenja sa [inlmath]2[/inlmath].
Kao primjer (iako znam, da ti je jasno) [inlmath]2:2=1+0[/inlmath]; [inlmath]3:2=1+1[/inlmath]

Formula koju je jans upotrebio je tačna. Njome se zaista dobiju potencije [inlmath]1,0,2,1,3\ldots[/inlmath]
Možda te zbunjuje upotrebljena zagrada. Ona upravo označava celobrojni deo, isto kao int u programiranju. Znači, [inlmath]\lfloor2,\!5\rfloor=2[/inlmath].
Ja sam prvobitno pretpostavio da si pogrešne vrednosti dobio jer si tu celobrojnu zagradu tretirao kao običnu zagradu, međutim ni na taj način se ne dobiju potencije koje si naveo, [inlmath]1,\,1,\!5,\,2,\,2,\!5,\ldots[/inlmath] Bi li mogao, molim te, pokazati kako si iz jansove formule dobio npr. [inlmath]1,\!5[/inlmath] za [inlmath]n=2[/inlmath]?

U pravu si. Shvatio sam to kao normalnu zagradu (moje neznanje). I moja površnost, umesto da navodim stepene za osnove od 1 pa nadalje, naveo sam ih od 4 pa nadalje. Izvinjavam se, sledeći put ću pokušati da budem pažljiviji.

Da tema ne bi ostala nedovršena, odgovoriću na postavljeno pitanje. Pošto se traženi niz može definisati na bezbroj načina, umesto definisanja jednog niza, navodim (jedan) uopšten odgovor.

Data su dva niza [inlmath]a_n[/inlmath] i [inlmath]b_n[/inlmath], čiji su opšti članovi definisani formulama, i prirodan broj [inlmath]n_0[/inlmath]. Ako opšti član niza [inlmath]c_n[/inlmath] definišemo formulom
[dispmath]c_n =\frac{1}{2} \cdot \Big (a_n + b_n -(a_n - b_n )\cdot \big(1-\left|sgn(n-n_0-1)\right|+sgn(n-n_0-1)\big) \Big),[/dispmath]
prvih [inlmath]n_0[/inlmath] članova tog niza jednako je sa prvim članovima niza [inlmath]a_n[/inlmath], a naredni članovi tog niza jesu jednaki sa odgovarajućim članovima niza [inlmath]b_n[/inlmath], odnosno
[dispmath]c_n=\begin{cases} a_n, & ako \enspace je \enspace n \le n_0\\ b_n, & ako \enspace je \enspace n >n_0 \end{cases} .[/dispmath]