MATEMANIJA

Odrediti broj clanova aritmetickog niza kod koga je odnos prvih [inlmath]13[/inlmath] clanova jednak [inlmath]1\over 2[/inlmath], a odnos zbira svih clanova bez prva tri prema zbiru svih clanova bez poslednja tri jednak [inlmath]4\over 3[/inlmath].
Ja sam ovako uradio:
[dispmath]S_{13}\over S_{n-13}[/dispmath] jednak je [inlmath]1\over 2[/inlmath]. A izraz[dispmath]S_n-S_3\over S_{n-3}[/dispmath] jednak je [inlmath]4\over 3[/inlmath].

Kada se oni rese, dobija se sistem jednacina, ja sam dobio prvu i ona iznosi [inlmath]a_1+19d=nd[/inlmath]. Do druge jednacine nikako ne mogu da dodjem. Uvek dobijem isti dug izraz.
P.S. A gore nisam nasao kako se pise = a da bude u pravcu razlomka, pa sam pisao recima jednako.

Miladin Jovic je napisao:Odrediti broj clanova aritmetickog niza kod koga je odnos prvih [inlmath]13[/inlmath] clanova jednak [inlmath]1\over 2[/inlmath]

Odnos prema čemu? Čini mi se da nisi prepisao deo teksta.

Drugi odnos kaže:
[dispmath]\frac{S_n-S_3}{S_{n-3}}=\frac{4}{3}[/dispmath]
Suma [inlmath]n[/inlmath] članova aritmetičkog niza je:
[dispmath]S_n=\frac{n}{2}\left[2a_1+(n-1)d\right][/dispmath]
Sume [inlmath]S_{n-3}[/inlmath] i [inlmath]S_3[/inlmath] iznose:
[dispmath]S_n=\frac{n-3}{2}\left[2a_1+(n-3-1)d\right]=\frac{n-3}{2}\left[2a_1+(n-4)d\right][/dispmath]
[dispmath]S_3=\frac{3}{2}\left[2a_1+(3-1)d\right]=\frac{3}{2}\left[2a_1+2d\right][/dispmath]
Dalje:
[dispmath]\frac{S_n-S_3}{S_{n-3}}=\frac{4}{3}=\frac{\frac{n}{2}\left[2a_1+(n-1)d\right]-\frac{3}{2}\left[2a_1+2d\right]}{\frac{n-3}{2}\left[2a_1+(n-4)d\right]}[/dispmath]
Otuda je:
[dispmath]3\left\{\frac{n}{2}\left[2a_1+(n-1)d\right]-\frac{3}{2}\left[2a_1+2d\right]\right\}=4\left\{\frac{n-3}{2}\left[2a_1+(n-4)d\right]\right\}[/dispmath]
Ovo je još jedna jednačina sa tri nepoznate [inlmath]a_1,d ,n[/inlmath]. Nisi precizirao kako glasi prvi uslov, ali, pretpostaviću da je ono što si napisao kasnije kao svoju formulu, odnosno [inlmath]\frac{S_{13}}{S_{n-13}}[/inlmath], tačno. Tada je:
[dispmath]\frac{S_{13}}{S_{n-13}}=\frac{\frac{13}{2}\left[2a_1+12d\right]}{\frac{n-13}{2}\left[2a_1+(n-14)d\right]}=\frac{1}{2}[/dispmath]
Odatle se takođe dobija jednačina sa tri nepoznate. Dve jednačine sa tri nepoznate- dobija li se time šta? Sve tri nepoznate u ovom slučaju nećemo naći, ali nam ni ne trebaju sve – [inlmath]a_1[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] se ne traže, već samo broj članova, tj. [inlmath]n[/inlmath].

Do njega možemo doći iz ove dve, već pomenute jednačine:
[dispmath]\frac{4}{3}=\frac{\frac{n}{2}\left[2a_1+(n-1)d\right]-\frac{3}{2}\left[2a_1+2d\right]}{\frac{n-3}{2}\left[2a_1+(n-4)d\right]}[/dispmath]
[dispmath]\frac{\frac{13}{2}\left[2a_1+12d\right]}{\frac{n-13}{2}\left[2a_1+(n-14)d\right]}=\frac{1}{2}[/dispmath]
Ostavićemo ih u ovoj formi, bez oslobađanja od razlomka, jer upravo to i nameće jednu mogućnost: podelimo desnu stranu obe jednačine sa [inlmath]d[/inlmath]! Dobijamo:
[dispmath]\frac{4}{3}=\frac{\frac{n}{2}\left[2\frac{a_1}{d}+(n-1)\right]-\frac{3}{2}\left[2\frac{a_1}{d}+2\right]}{\frac{n-3}{2}\left[2\frac{a_1}{d}+(n-4)\right]}[/dispmath]
[dispmath]\frac{\frac{13}{2}\left[2\frac{a_1}{d}+12\right]}{\frac{n-13}{2}\left[2\frac{a_1}{d}+(n-14)\right]}=\frac{1}{2}[/dispmath]
Uvedi smenu [inlmath]\frac{a_1}{d}=t[/inlmath] i sistem postaje:
[dispmath]\frac{4}{3}=\frac{\frac{n}{2}\left[2t+(n-1)\right]-\frac{3}{2}\left[2t+2\right]}{\frac{n-3}{2}\left[2t+(n-4)\right]}[/dispmath]
[dispmath]\frac{\frac{13}{2}\left[2t+12\right]}{\frac{n-13}{2}\left[2t+(n-14)\right]}=\frac{1}{2}[/dispmath]
Ovo možeš malo srediti, dobijaš sistem od dve jednačine sa dve nepoznate, a samim tim i traženu vrednost [inlmath]n[/inlmath], kada ga rešiš.

Odrediti broj clanova aritmetickog niza kod koga je odnos prvih [inlmath]13[/inlmath] clanova jednak [inlmath]1\over 2[/inlmath]

Tu je u pitanju odnos zbira prvih [inlmath]13[/inlmath] prema zbiru poslednjih [inlmath]13[/inlmath] clanova
Ali kako da dobijem drugu jednacinu sistema? Nikako ne mogu da dobro uprostim onaj drugi razlomak tj odnos tri prema cetiri

Miladin Jovic je napisao:P.S. A gore nisam nasao kako se pise = a da bude u pravcu razlomka, pa sam pisao recima jednako.

Preporučljivije je za razlomke koristiti \frac nego \over komandu. Tada to postižeš na uobičajen način – napišeš kôd za jedan razlomak, zatim otkucaš znak jednakosti i onda napišeš kôd za drugi razlomak:
\frac{S_n-S_3}{S_{n-3}}=\frac{4}{3}

Miladin Jovic je napisao:Tu je u pitanju odnos zbira prvih [inlmath]13[/inlmath] prema zbiru poslednjih [inlmath]13[/inlmath] clanova

U tom slučaju, nisi dobro postavio jednačinu, pa samim tim ni jednačina do koje je Milovan došao sređivanjem te pogrešne početne jednačine, nije ispravna.
Postavka u ovom slučaju treba da ti glasi
[dispmath]\frac{S_{13}}{S_n-S_{n-13}}=\frac{1}{2}[/dispmath]
Ali, zanimljivo je da si, i pored pogrešne postavke prve jednačine, dobio njen ispravan sređeni oblik, [inlmath]a_1+19d = nd[/inlmath], ili, kad se podeli sa [inlmath]d[/inlmath] i uvede smena [inlmath]t=\frac{a_1}{d}[/inlmath],
[dispmath]t+19=n[/dispmath]
tj.
[dispmath]t=n-19[/dispmath]
Uvrsti to u drugu jednačinu umesto [inlmath]t[/inlmath] i dobićeš jednačinu s jednom nepoznatom, [inlmath]n[/inlmath].

[inlmath]a_1+19d=nd[/inlmath] U pravu si Daniele, pogresno sam napisao i tekst i formulu, ali tamo gde radim sam dobro napisao formulu, pa sam jednu jednacinu dobio kako treba. Stoga, izvinjavam se Milovanu ( ja budala zurio sam pa i pogresno napisao). Milovane, izvinjavam se jos jednom.

Nema problema, Miladine. Mada, nije mi baš jasno kako možeš da imaš problem sa sređivanjem druge jednakosti kada se sređuje na potupno isti način kao i prva.
[dispmath]\frac{4}{3}=\frac{\frac{n}{2}\left[2t+(n-1)\right]-\frac{3}{2}\left[2t+2\right]}{\frac{n-3}{2}\left[2t+(n-4)\right]}[/dispmath]
Sada ovo treba unakrsno izmnožiti i srediti. Pa se dobije:
[dispmath]t=11-\frac{n}{2}[/dispmath]
Onda iskoristiš da je [inlmath]t=n-19[/inlmath] i:
[dispmath]11-\frac{n}{2}=n-19[/dispmath]
Rešenje ove jednačine je [inlmath]n=20[/inlmath].

Pri sredjivanju gornjeg izraza dobijem ovo[dispmath]8tn+4n^2-28n-24t+48=6tn+3n^2-3n-18t-18[/dispmath] Nikako da dobijem kako treba.

Na dobrom si putu. Poskraćuj prvo sve što se može skratiti (npr. [inlmath]8nt[/inlmath] na levoj i [inlmath]6nt[/inlmath] na desnoj strani, pri čemu ostaje samo [inlmath]2nt[/inlmath] na levoj strani; isto tako i ostale sabirke); zatim na levoj strani grupiši sabirke koji sadrže [inlmath]t[/inlmath], a na desnoj strani sabirke koji ne sadrže [inlmath]t[/inlmath]; uočićeš da i na levoj i na desnoj strani može da se izvuče faktor [inlmath]\left(n-3\right)[/inlmath], koji se tada skrati, uz uslov da je [inlmath]n\ne 3[/inlmath] (što se i iz polazne jednačine vidi da mora biti zadovoljeno kao uslov, jer kada bi bilo [inlmath]n=3[/inlmath], tada bi desna strana polazne jednačine bila [inlmath]\frac{0}{0}[/inlmath]).

Inače, da je [inlmath]n[/inlmath] različito od [inlmath]3[/inlmath] se takođe može zaključiti i bez zamene brojne vrednosti [inlmath]n[/inlmath] u jednakost, kako, po uslovima zadatka niz ima više od [inlmath]13[/inlmath] članova ([inlmath]n>13[/inlmath] i samim tim različito od [inlmath]3[/inlmath]).

Kako bi ovaj zadatak? Ja nemam ideju:
Dat je niz sa opstim clanom [inlmath]a_n[/inlmath]:
[dispmath]a_n=0.5+0.25+\cdots +\frac{1}{2^n}[/dispmath]
Koliko clanova niza je manje od broja [inlmath]65535\over65536[/inlmath]?