MATEMANIJA

Odrediti broj clanova aritmetickog niza kod koga je odnos prvih [inlmath]13[/inlmath] clanova jednak [inlmath]1\over 2[/inlmath], a odnos zbira svih clanova bez prva tri prema zbiru svih clanova bez poslednja tri jednak [inlmath]4\over 3[/inlmath].
Ja sam ovako uradio:
[dispmath]S_{13}\over S_{n-13}[/dispmath] jednak je [inlmath]1\over 2[/inlmath]. A izraz[dispmath]S_n-S_3\over S_{n-3}[/dispmath] jednak je [inlmath]4\over 3[/inlmath].

Kada se oni rese, dobija se sistem jednacina, ja sam dobio prvu i ona iznosi [inlmath]a_1+19d=nd[/inlmath]. Do druge jednacine nikako ne mogu da dodjem. Uvek dobijem isti dug izraz.
P.S. A gore nisam nasao kako se pise = a da bude u pravcu razlomka, pa sam pisao recima jednako.

Miladin Jovic je napisao:Odrediti broj clanova aritmetickog niza kod koga je odnos prvih [inlmath]13[/inlmath] clanova jednak [inlmath]1\over 2[/inlmath]

Odnos prema čemu? Čini mi se da nisi prepisao deo teksta.

Drugi odnos kaže:
[dispmath]\frac{S_n-S_3}{S_{n-3}}=\frac{4}{3}[/dispmath]
Suma [inlmath]n[/inlmath] članova aritmetičkog niza je:
[dispmath]S_n=\frac{n}{2}\left[2a_1+(n-1)d\right][/dispmath]
Sume [inlmath]S_{n-3}[/inlmath] i [inlmath]S_3[/inlmath] iznose:
[dispmath]S_n=\frac{n-3}{2}\left[2a_1+(n-3-1)d\right]=\frac{n-3}{2}\left[2a_1+(n-4)d\right][/dispmath]
[dispmath]S_3=\frac{3}{2}\left[2a_1+(3-1)d\right]=\frac{3}{2}\left[2a_1+2d\right][/dispmath]
Dalje:
[dispmath]\frac{S_n-S_3}{S_{n-3}}=\frac{4}{3}=\frac{\frac{n}{2}\left[2a_1+(n-1)d\right]-\frac{3}{2}\left[2a_1+2d\right]}{\frac{n-3}{2}\left[2a_1+(n-4)d\right]}[/dispmath]
Otuda je:
[dispmath]3\left\{\frac{n}{2}\left[2a_1+(n-1)d\right]-\frac{3}{2}\left[2a_1+2d\right]\right\}=4\left\{\frac{n-3}{2}\left[2a_1+(n-4)d\right]\right\}[/dispmath]
Ovo je još jedna jednačina sa tri nepoznate [inlmath]a_1,d ,n[/inlmath]. Nisi precizirao kako glasi prvi uslov, ali, pretpostaviću da je ono što si napisao kasnije kao svoju formulu, odnosno [inlmath]\frac{S_{13}}{S_{n-13}}[/inlmath], tačno. Tada je:
[dispmath]\frac{S_{13}}{S_{n-13}}=\frac{\frac{13}{2}\left[2a_1+12d\right]}{\frac{n-13}{2}\left[2a_1+(n-14)d\right]}=\frac{1}{2}[/dispmath]
Odatle se takođe dobija jednačina sa tri nepoznate. Dve jednačine sa tri nepoznate- dobija li se time šta? Sve tri nepoznate u ovom slučaju nećemo naći, ali nam ni ne trebaju sve – [inlmath]a_1[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] se ne traže, već samo broj članova, tj. [inlmath]n[/inlmath].

Do njega možemo doći iz ove dve, već pomenute jednačine:
[dispmath]\frac{4}{3}=\frac{\frac{n}{2}\left[2a_1+(n-1)d\right]-\frac{3}{2}\left[2a_1+2d\right]}{\frac{n-3}{2}\left[2a_1+(n-4)d\right]}[/dispmath]
[dispmath]\frac{\frac{13}{2}\left[2a_1+12d\right]}{\frac{n-13}{2}\left[2a_1+(n-14)d\right]}=\frac{1}{2}[/dispmath]
Ostavićemo ih u ovoj formi, bez oslobađanja od razlomka, jer upravo to i nameće jednu mogućnost: podelimo desnu stranu obe jednačine sa [inlmath]d[/inlmath]! Dobijamo:
[dispmath]\frac{4}{3}=\frac{\frac{n}{2}\left[2\frac{a_1}{d}+(n-1)\right]-\frac{3}{2}\left[2\frac{a_1}{d}+2\right]}{\frac{n-3}{2}\left[2\frac{a_1}{d}+(n-4)\right]}[/dispmath]
[dispmath]\frac{\frac{13}{2}\left[2\frac{a_1}{d}+12\right]}{\frac{n-13}{2}\left[2\frac{a_1}{d}+(n-14)\right]}=\frac{1}{2}[/dispmath]
Uvedi smenu [inlmath]\frac{a_1}{d}=t[/inlmath] i sistem postaje:
[dispmath]\frac{4}{3}=\frac{\frac{n}{2}\left[2t+(n-1)\right]-\frac{3}{2}\left[2t+2\right]}{\frac{n-3}{2}\left[2t+(n-4)\right]}[/dispmath]
[dispmath]\frac{\frac{13}{2}\left[2t+12\right]}{\frac{n-13}{2}\left[2t+(n-14)\right]}=\frac{1}{2}[/dispmath]
Ovo možeš malo srediti, dobijaš sistem od dve jednačine sa dve nepoznate, a samim tim i traženu vrednost [inlmath]n[/inlmath], kada ga rešiš.

Odrediti broj clanova aritmetickog niza kod koga je odnos prvih [inlmath]13[/inlmath] clanova jednak [inlmath]1\over 2[/inlmath]

Tu je u pitanju odnos zbira prvih [inlmath]13[/inlmath] prema zbiru poslednjih [inlmath]13[/inlmath] clanova
Ali kako da dobijem drugu jednacinu sistema? Nikako ne mogu da dobro uprostim onaj drugi razlomak tj odnos tri prema cetiri

Miladin Jovic je napisao:P.S. A gore nisam nasao kako se pise = a da bude u pravcu razlomka, pa sam pisao recima jednako.

Preporučljivije je za razlomke koristiti \frac nego \over komandu. Tada to postižeš na uobičajen način – napišeš kôd za jedan razlomak, zatim otkucaš znak jednakosti i onda napišeš kôd za drugi razlomak:
\frac{S_n-S_3}{S_{n-3}}=\frac{4}{3}

Miladin Jovic je napisao:Tu je u pitanju odnos zbira prvih [inlmath]13[/inlmath] prema zbiru poslednjih [inlmath]13[/inlmath] clanova

U tom slučaju, nisi dobro postavio jednačinu, pa samim tim ni jednačina do koje je Milovan došao sređivanjem te pogrešne početne jednačine, nije ispravna.
Postavka u ovom slučaju treba da ti glasi
[dispmath]\frac{S_{13}}{S_n-S_{n-13}}=\frac{1}{2}[/dispmath]
Ali, zanimljivo je da si, i pored pogrešne postavke prve jednačine, dobio njen ispravan sređeni oblik, [inlmath]a_1+19d = nd[/inlmath], ili, kad se podeli sa [inlmath]d[/inlmath] i uvede smena [inlmath]t=\frac{a_1}{d}[/inlmath],
[dispmath]t+19=n[/dispmath]
tj.
[dispmath]t=n-19[/dispmath]
Uvrsti to u drugu jednačinu umesto [inlmath]t[/inlmath] i dobićeš jednačinu s jednom nepoznatom, [inlmath]n[/inlmath].

[inlmath]a_1+19d=nd[/inlmath] U pravu si Daniele, pogresno sam napisao i tekst i formulu, ali tamo gde radim sam dobro napisao formulu, pa sam jednu jednacinu dobio kako treba. Stoga, izvinjavam se Milovanu ( ja budala zurio sam pa i pogresno napisao). Milovane, izvinjavam se jos jednom.

Nema problema, Miladine. Mada, nije mi baš jasno kako možeš da imaš problem sa sređivanjem druge jednakosti kada se sređuje na potupno isti način kao i prva.
[dispmath]\frac{4}{3}=\frac{\frac{n}{2}\left[2t+(n-1)\right]-\frac{3}{2}\left[2t+2\right]}{\frac{n-3}{2}\left[2t+(n-4)\right]}[/dispmath]
Sada ovo treba unakrsno izmnožiti i srediti. Pa se dobije:
[dispmath]t=11-\frac{n}{2}[/dispmath]
Onda iskoristiš da je [inlmath]t=n-19[/inlmath] i:
[dispmath]11-\frac{n}{2}=n-19[/dispmath]
Rešenje ove jednačine je [inlmath]n=20[/inlmath].

Pri sredjivanju gornjeg izraza dobijem ovo[dispmath]8tn+4n^2-28n-24t+48=6tn+3n^2-3n-18t-18[/dispmath] Nikako da dobijem kako treba.

Na dobrom si putu. Poskraćuj prvo sve što se može skratiti (npr. [inlmath]8nt[/inlmath] na levoj i [inlmath]6nt[/inlmath] na desnoj strani, pri čemu ostaje samo [inlmath]2nt[/inlmath] na levoj strani; isto tako i ostale sabirke); zatim na levoj strani grupiši sabirke koji sadrže [inlmath]t[/inlmath], a na desnoj strani sabirke koji ne sadrže [inlmath]t[/inlmath]; uočićeš da i na levoj i na desnoj strani može da se izvuče faktor [inlmath]\left(n-3\right)[/inlmath], koji se tada skrati, uz uslov da je [inlmath]n\ne 3[/inlmath] (što se i iz polazne jednačine vidi da mora biti zadovoljeno kao uslov, jer kada bi bilo [inlmath]n=3[/inlmath], tada bi desna strana polazne jednačine bila [inlmath]\frac{0}{0}[/inlmath]).

Inače, da je [inlmath]n[/inlmath] različito od [inlmath]3[/inlmath] se takođe može zaključiti i bez zamene brojne vrednosti [inlmath]n[/inlmath] u jednakost, kako, po uslovima zadatka niz ima više od [inlmath]13[/inlmath] članova ([inlmath]n>13[/inlmath] i samim tim različito od [inlmath]3[/inlmath]).

Kako bi ovaj zadatak? Ja nemam ideju:
Dat je niz sa opstim clanom [inlmath]a_n[/inlmath]:
[dispmath]a_n=0.5+0.25+\cdots +\frac{1}{2^n}[/dispmath]
Koliko clanova niza je manje od broja [inlmath]65535\over65536[/inlmath]?

Opšti član [inlmath]a_n[/inlmath] predstavlja sumu geometrijske progresije [inlmath]\left(\frac{1}{2}\right)^1+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\cdots +\left(\frac{1}{2}\right)^n[/inlmath].

Suma geometrijske progresije računa se po formuli
[dispmath]S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}[/dispmath]
gde je:
[inlmath]a_1[/inlmath] – prvi član niza,
[inlmath]q[/inlmath] - odnos dva susedna člana niza [inlmath]\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)[/inlmath],
[inlmath]n[/inlmath] – broj članova niza.

Ovde treba da znaš i to, da je [inlmath]65536=2^{16}[/inlmath].

Ovako, [inlmath]q=0.5[/inlmath] pa kad se zameni u formulu dobijamo [dispmath]a_n=\frac{2^n-1}{2^n}[/dispmath]Koji je to niz u pitanju? Geometrijski ili aritmeticki.

To sad nije ni geometrijski ni aritmetički niz, ali to nije ni bitno za rešavanje zadatka.

Pošto pitanje glasi koliko članova niza je manje od [inlmath]\frac{65535}{65536}[/inlmath], treba sad da postaviš uslov da je [inlmath]a_n<\frac{65535}{65536}[/inlmath] i da odatle nađeš koliko je [inlmath]n[/inlmath].

Kako je [dispmath]2^{16}=65536[/dispmath] imamo [inlmath]15[/inlmath] clanova koji zadovoljavaju uslov.

Dakle, [inlmath]n[/inlmath]-ti član ovog niza je:
[dispmath]a_n=\frac{2^n-1}{2^n}[/dispmath]
Broj [inlmath]\frac{65535}{65536}[/inlmath] je u stvari jednak broju [inlmath]\frac{2^{16}-1}{2^{16}}[/inlmath]

Treba nam broj članova ovog niza, takvih da je [inlmath]a_n<\frac{2^{16}-1}{2^{16}}[/inlmath] tj. da:
[dispmath]\frac{2^n-1}{2^n}<\frac{2^{16}-1}{2^{16}}[/dispmath]
Ovo važi za [inlmath]n<16[/inlmath], odnosno za prvih [inlmath]15[/inlmath] članova.

Inače, ne mogu a da ne prokomentarišem... Kad god vidim sumu ove geometrijske progresije, [inlmath]\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\cdots +\left(\frac{1}{2}\right)^n[/inlmath] (koja za [inlmath]n\to\infty[/inlmath] teži jedinici), uvek se setim ove šaljive ilustracije.

Brojevi [inlmath]a_1,a_2,\dots a_n[/inlmath] cine aritmeticku progresiju. Poznato je da je zbir clanova ove aritmeticke progresije sa neparnim indeksima za [inlmath]15[/inlmath] veci od zbira clanova sa parnim indeksima. Ako je [inlmath]a_{20}=3a_9[/inlmath] onda je zbir cifara srednjeg clana ove progresije jednak?

[inlmath]S_1[/inlmath] je prvi pomenuti zbir
[inlmath]S_2[/inlmath] je drugi zbir
[dispmath]S_1=\frac{10}{2}\cdot(a_2+a_{20})[/dispmath][dispmath]S_2=\frac{11}{2}\cdot(a_1+a_{21})[/dispmath]
Dalje, prema uslovu, [inlmath]S_1-S_2=15[/inlmath]
Kada to zamenim, dobijem jednacinu [dispmath]2a_1+20d=-30[/dispmath]
Zamenom u drugi uslov [inlmath]a_{20}=3a_9[/inlmath] dobija se
[dispmath]a_1+19d=3a_1+24d[/dispmath]
I na kraju kad se sredi:[dispmath]2a_1+5d=0[/dispmath]
Preostaje sistem:[dispmath]2a_1+20d=-30\\2a_1+5d=0[/dispmath]
Ja sam dobio da je [inlmath]d=-2[/inlmath] a [inlmath]a_1=5[/inlmath].
A srednji clan je [dispmath]a_{11}=-15[/dispmath]
Trazeni zbir njegovih cifara je [inlmath]6[/inlmath].
I u resenju je zbir [inlmath]6[/inlmath]. ali su oni dobili da je[dispmath]a_1=-5\\d=2[/dispmath]
Pa da li je ovo moje resenje tacno?

Iz teksta zadatka nije jasno koliko niz ima članova, a to je podatak bez kojeg zadatak nije moguće rešiti, jer se dobije sistem od dve jednačine s tri nepoznate.
Iz teksta je jedino jasno da je broj članova niza neparan, budući da se spominje srednji član.
Međutim, ti si radio kao da je zadato da niz ima [inlmath]21[/inlmath] član, pa ću pretpostaviti da taj podatak jeste zadat, a da si zaboravio da ga navedeš u tekstu zadatka.

Imaš grešku ovde:

Miladin Jovic je napisao:[inlmath]S_1[/inlmath] je prvi pomenuti zbir
[inlmath]S_2[/inlmath] je drugi zbir
[dispmath]S_1=\frac{10}{2}\cdot(a_2+a_{20})[/dispmath][dispmath]S_2=\frac{11}{2}\cdot(a_1+a_{21})[/dispmath]

[inlmath]S_1[/inlmath] si računao kao sumu parnih članova, a [inlmath]S_2[/inlmath] si računao kao sumu neparnih članova, a treba upravo obrnuto. Znači,
[dispmath]S_1=\frac{11}{2}\cdot\left(a_1+a_{21}\right)[/dispmath][dispmath]S_2=\frac{10}{2}\cdot\left(a_2+a_{20}\right)[/dispmath]
I, kad se samo to ispravi i sve sračuna, dobije se upravo ono što piše u rešenju.

Da, u pravu si. Niz ima [inlmath]21[/inlmath] clan i hvala puno.

Kako bi se ovaj zadatak resio:
Dat je niz [inlmath]a_1=2,\:a_2=3,\:a_3=6,\:a_4=11,\:a_5=18,\ldots[/inlmath] takav da razlike uzastopnih clanova obrazuju aritmeticki niz. Tada je:
A) [inlmath]240\:000<a_{500}<245\:000[/inlmath]
B) [inlmath]245\:000<a_{500}<250\:000[/inlmath]
C) [inlmath]250\:000<a_{500}<255\:000[/inlmath]
D) [inlmath]255\:000<a_{500}<260\:000[/inlmath]
E) [inlmath]260\:000>a_{500}<265\:000[/inlmath]

Ja sam formirao taj aritmeticki niz :
[dispmath]1,3,5,7,\ldots[/dispmath] i izracunao [inlmath]a_{500}[/inlmath] tog niza:
[dispmath]a_{500}=999[/dispmath].
Ne znam kako da izracunam [inlmath]a_{500}[/inlmath] ovog prvog niza (a on nije ni aritmeticki a ni geometrijski).
Ja sam ovako poceo:
[dispmath]a_{501}-a_{500}= 999[/dispmath]
Ne znam da li je ovo tacno i da li je uopste upotrebljivo?

Imamo niz [inlmath]2,3,6,11,18\dots[/inlmath]

Obrati pažnju na sledeću pravilnost:
[inlmath]3-2=1=1^2[/inlmath]
[inlmath]6-2=4=2^2[/inlmath]
[inlmath]11-2=9=3^2[/inlmath]
[inlmath]18-2=16=4^2[/inlmath]
[inlmath]\dots[/inlmath]

Primetimo da je [inlmath]n+1[/inlmath]-i član ovog niza:
[dispmath]a_{n+1}=n^2+2[/dispmath]
Odnosno:
[dispmath]a_n=(n-1)^2+2[/dispmath]
Prema tome [inlmath]a_{500}=499^2+2[/inlmath]

Čak i ako ne uspeš da uočiš ovu pravilnost, uvek imaš na raspolaganju i onaj „školski“ način:

Članove niza kojeg formiraju razlike uzastopnih članova niza [inlmath]a_n[/inlmath] obeleži sa [inlmath]b_n[/inlmath]. Tada će važiti:
[dispmath]\begin{array}{l}
a_2=a_1+b_1 \\
a_3=a_2+b_2=a_1+b_1+b_2 \\
a_4=a_3+b_3=a_1+b_1+b_2+b_3 \\
\cdots \\
a_n=a_{n-1}+b_{n-1}=a_1+b_1+b_2+\cdots +b_{n-1}=a_1+\frac{n-1}{2}\left[2b_1+\left(n-2\right)d\right]
\end{array}[/dispmath]
gde je [inlmath]d[/inlmath] – razlika dva uzastopna člana niza [inlmath]b_n[/inlmath], koja ovde iznosi [inlmath]2[/inlmath].

Prema tome,
[dispmath]a_n=a_1+\left(n-1\right)\left(b_1+n-2\right)[/dispmath][dispmath]a_n=2+\left(n-1\right)\left(1+n-2\right)[/dispmath][dispmath]a_n=2+\left(n-1\right)\left(n-1\right)[/dispmath][dispmath]a_n=2+\left(n-1\right)^2[/dispmath]
što je isti rezultat do kojeg je i Milovan došao.

Zasto od svakog clana niza oduzimamo [inlmath]2[/inlmath] kad razlika uzastopnih clanova formira aritmeticki niz? Kako se dobija da [inlmath]a_{n+1}=n^2+2[/inlmath]

To što sam ti ja ponudio je prečica, ako hoćeš "školsko" izvođenje, sledi postupak koji je Daniel dao. Ja samo primetih da su članovi ovog niza za [inlmath]2[/inlmath] veći od kvadrata uzastopnih prirodnih brojeva, zato sam oduzimao [inlmath]2[/inlmath], tek toliko da bih jasnije istakao to njihovo svojstvo. Izdvojena formula je zapravo samo formalni zapis tog svojstva.

Hvala, ocigledno meni sluzi glava samo za sisanje

Prvi, treci i sedmi clan aritmeticke progresije cine prva tri clana geometrijske progresije. Cetvrti clan geometrijske progresije je u aritmetickoj progresiji:
A) [inlmath]10.[/inlmath] clan
b) [inlmath]11.[/inlmath] clan
C) [inlmath]14.[/inlmath] clan
D) [inlmath]15.[/inlmath] clan
e) [inlmath]17.[/inlmath] clan
Imamo
[dispmath]a_1\cdot q=a_1[/dispmath][dispmath]a_1\cdot q^2=a_1+2d[/dispmath][dispmath]a_1\cdot q^6=a_1+6d[/dispmath]
Kako dalje?

Još ranije urađen, ovde.

Inače, nisi dobro postavio. Članove geometrijske progresije moraš obeležiti drugačije od članova aritmetičke progresije, da ih ne bi mešao. Npr. sa [inlmath]g_n[/inlmath].
Drugo, prva tri člana geometrijske progresije nisu [inlmath]g_1\cdot q[/inlmath], [inlmath]g_1\cdot q^2[/inlmath] i [inlmath]g_1\cdot q^6[/inlmath], već [inlmath]g_1[/inlmath], [inlmath]g_1\cdot q[/inlmath] i [inlmath]g_1\cdot q^2[/inlmath].