MATEMANIJA

Zadatak:

Odnos poslednjeg i srednjeg člana geometrijske progresije [inlmath]a_1,a_2,\ldots,a_{2010},a_{2011}[/inlmath] jednak je [inlmath]8^{335}[/inlmath]. Ako je [inlmath]q[/inlmath] količnik te progresije, tada je zbir [inlmath]1+q+q^2+\cdots+q^{2011}[/inlmath] jednak.

Evo mog postupka, koji ne daje dobro rešenje:

Srednji član bi bio [inlmath]1006[/inlmath], zar ne? Išao sam logikom [inlmath]1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11[/inlmath], gde broj [inlmath]6[/inlmath] predstavlja sredinu, jer sa obe strane ima jednak broj brojeva.

Dakle,
[dispmath]\frac{q^{2011}}{q^{1006}}=8^{335}\\
q^{2011-1006}=2^{3\cdot335}\\
q^\cancel{1005}=2^\cancel{1005}\\
q=2[/dispmath] Zatim koristimo formulu za sumu članova geomterijskog niza:

[inlmath]S=b_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}[/inlmath], gde je [inlmath]b_1[/inlmath], prvi član niza
[dispmath]S=1\cdot\frac{1-2^{2011}}{1-2}\\
S=\frac{1-2^{2011}}{-1}\\
S=2^{2011}-1[/dispmath] U rešenju piše: [inlmath]S=2^{2012}-1[/inlmath], pa mi nije jasno gde sam napravio tu sitnu grešku.

Evo gde je greška:

stevan95 je napisao:[dispmath]S=1\cdot\frac{1-2^{201{\color{red}1}}}{1-2}[/dispmath]

Suma koja se traži, [inlmath]1+q+q^2+\cdots+q^{2011}[/inlmath], može se napisati u obliku
[dispmath]q^0+q^1+q^2+\cdots+q^{2011}[/dispmath] E sad, obrati pažnju na to da eksponenti ne idu od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]2011[/inlmath], već od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]2011[/inlmath]. Znači, ima ukupno [inlmath]2012[/inlmath] članova sume.

Imali smo već, baš u skorije vreme, sličnu grešku na forumu, evo ovde. Izgleda da se ta greška često javlja, pa zato tu treba posebno biti obazriv.

Pozdrav,
Na osnovu čega se dobija da je [inlmath]a_1=1[/inlmath]?

Pozdrav,
Ako ciljaš na progresiju [inlmath]1+q+q^2+\cdots+q^{2011}[/inlmath], onda mislim da je jasno zašto je prvi član jednak [inlmath]1[/inlmath]. ([inlmath]1=q^0[/inlmath], pogledaj post iznad)
Kod progresije [inlmath]a_1,a_2,\ldots,a_{2010},a_{2011}[/inlmath] sama vrednost prvog člana nam nije ni bitna, svakako će se u daljem postupku rešavanja zadatka kratiti [inlmath]a_1[/inlmath] (ostane samo ono što nas interesuje, količinik geometrijskog niza - [inlmath]q[/inlmath]).
Nadam se da sam odgovorio na tvoje pitanje, a ako nisam formuliši ga malo preciznije.