MATEMANIJA

posmatrajmo geometrijsku progresiju sa parnim brojem clanova. Ako je zbir svih clanova progresije pet puta veci od zbira clanova sa neparnim indeksima, odrediti kolicnik.
sad resenje ide :
oznacimo broj clanova niza sa [inlmath]n=2k[/inlmath]. Zbir svih clanova posmatranog niza je
[dispmath]S_{2k}=b_1\cdot\frac{q^{2k}-1}{q-1}[/dispmath]
u posmatranom nizu imamo [inlmath]k[/inlmath] clanova sa neparnim indeksimai za njih vazi
[dispmath]\frac{b_3}{b_1}=\frac{b_5}{b_3}=\cdots\frac{b_{2k-1}}{b_{2k-3}}=q^2[/dispmath]
i sada ima dalje ali meni nije jasan taj poslednji deo koji sam napisao sa [inlmath]q^2[/inlmath] zasto je to jednako

Pretpostavljam da ti je ovo jasno:
[dispmath]\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}=\frac{a_4}{a_3}=\cdots =q[/dispmath]
tj. odnos bilo koja dva susedna člana geometrijske progresije jednak je količniku progresije, [inlmath]q[/inlmath].

Odatle sledi
[dispmath]\frac{a_3}{a_1}=\frac{a_3}{a_1}\cdot\frac{a_2}{a_2}=\frac{a_3}{a_2}\cdot\frac{a_2}{a_1}=q\cdot q=q^2[/dispmath][dispmath]\frac{a_5}{a_3}=\frac{a_5}{a_3}\cdot\frac{a_4}{a_4}=\frac{a_5}{a_4}\cdot\frac{a_4}{a_3}=q\cdot q=q^2[/dispmath][dispmath]\vdots[/dispmath]
odakle zaključujemo da je
[dispmath]\frac{a_3}{a_1}=\frac{a_5}{a_3}=\frac{a_7}{a_5}=\cdots =q^2[/dispmath]
Ovo dalje ti sad nije potrebno za ovaj zadatak, ali čisto da znaš – isto tako bi važilo i za svaki treći član geometrijske progresije:
[dispmath]\frac{a_4}{a_1}=\frac{a_7}{a_4}=\frac{a_{10}}{a_7}=\cdots =q^3[/dispmath]
zatim za svaki četvrti,
[dispmath]\frac{a_5}{a_1}=\frac{a_9}{a_5}=\frac{a_{13}}{a_9}=\cdots =q^4[/dispmath]
itd.

znaci [inlmath]a_2[/inlmath] i [inlmath]a_1[/inlmath] zamene mesta i zato se javlja [inlmath]q^2[/inlmath] ? ako sam dobro razumeo

Ako misliš na ovaj korak,

Daniel je napisao:[dispmath]\frac{a_3}{a_1}\cdot\frac{a_2}{a_2}=\frac{a_3}{a_2}\cdot\frac{a_2}{a_1}[/dispmath]

onda bi se moglo tako reći. Komutativnost množenja.

Ali, nije to suština. Tu sam išao možda i preterano postupno. Možeš to posmatrati i ovako:
[dispmath]a_3=a_2\cdot q=\left(a_1\cdot q\right)\cdot q=a_1\cdot q^2\quad\Rightarrow\quad\frac{a_3}{a_1}=q^2[/dispmath][dispmath]a_5=a_4\cdot q=\left(a_3\cdot q\right)\cdot q=a_3\cdot q^2\quad\Rightarrow\quad\frac{a_5}{a_3}=q^2[/dispmath][dispmath]\vdots[/dispmath]

ahm, ahm , da hvala, skontao sam