MATEMANIJA

Imam tri zadatka koja mi pa skoro da nikako nisu jasna, pa ako moze detaljnije objasnjenje za neke delove
1. Broj clanova geometrijske progresije je paran. Zbir svih clanova je tri puta veci od zbira clanova na neparnim mestima. Odredi kolicnik progresije. (znam kako da prikazem zbir svih clanova, ali nije mi jasno kako da napisem zbir neparnih, pa ako moze neko lako shvatljivo objasnjenje).
2. Cifre trocifrenog broja su uzastopni clanovi geometrijske progresije. Ako se od tog broja oduzme broj [inlmath]792[/inlmath] dobije se broj koji ima iste cifre, ali u obrnutom poretku. Ako se prva cifra datog broja umanji za [inlmath]4[/inlmath], dobija se broj cije su cifre uzastopni clanovi aritmeticke progresije. Odrediti taj broj. (sigurno postoji neka caka za te cifre, ali ja je ocigledno ne znam)
3. Dat je niz sa opstim clanom [inlmath]a_n[/inlmath], gde je [inlmath]a_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdots+\frac{1}{2^n}\;\left(n\in\mathbb{N}\right)[/inlmath]. Koliko clanova niza je manje od broja [inlmath]\frac{65535}{65536}[/inlmath]? (izracunam [inlmath]a_n[/inlmath], kao zbir prvih [inlmath]n[/inlmath] clanova geometrijske progresije i dalje nemam pojma).

sevdah baby je napisao:1. Broj clanova geometrijske progresije je paran. Zbir svih clanova je tri puta veci od zbira clanova na neparnim mestima. Odredi kolicnik progresije. (znam kako da prikazem zbir svih clanova, ali nije mi jasno kako da napisem zbir neparnih, pa ako moze neko lako shvatljivo objasnjenje).

Broj članova geometrijske progresije označimo sa [inlmath]2n,\;n\in\mathrm{N}[/inlmath].

Zbir svih članova će tada biti jednak[dispmath]S_{2n}=a_1\frac{1-q^{2n}}{1-q}[/dispmath]Posmatramo sad podniz ovog niza, koji se sastoji samo od članova na neparnim mestima:[dispmath]a_1,a_3,a_5,\dots ,a_{2n-3},a_{2n-1}[/dispmath]Broj članova tog podniza je [inlmath]n[/inlmath], a količnik je [inlmath]q^2[/inlmath], pa je suma njegovih članova jednaka[dispmath]S'_n=a_1\frac{1-\left(q^2\right)^n}{1-q^2}=a_1\frac{1-q^{2n}}{1-q^2}[/dispmath]I onda postavljamo uslov da je zbir svih članova tri puta veći od zbira članova na neparnim mestima:[dispmath]S_{2n}=3S'_n[/dispmath][dispmath]a_1\frac{1-q^{2n}}{1-q}=3a_1\frac{1-q^{2n}}{1-q^2}[/dispmath][dispmath]\cancel{a_1}\frac{\cancel{1-q^{2n}}}{\cancel{1-q}}=3\cancel{a_1}\frac{\cancel{1-q^{2n}}}{\cancel{\left(1-q\right)}\left(1+q\right)}[/dispmath][dispmath]1+q=3[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{q=2}[/dispmath]
Provera:
[inlmath]1+2+4+8=15[/inlmath]
[inlmath]1+4=5[/inlmath]
[inlmath]15=3\cdot 5[/inlmath]


[inlmath]2+4+8+16+32+64=126[/inlmath]
[inlmath]2+8+32=42[/inlmath]
[inlmath]126=3\cdot 42[/inlmath]


Da bi bilo [inlmath]S_{2n}=3S'_n[/inlmath] potrebno je samo da bude [inlmath]q=2[/inlmath], dok nije bitno ni koliko je [inlmath]a_1[/inlmath], ni koliko je [inlmath]n[/inlmath].

(Znam da nisi tražila izradu celog zadatka, ali toliko mi je bio interesantan, da sam morao. )

sevdah baby je napisao:2. Cifre trocifrenog broja su uzastopni clanovi geometrijske progresije. Ako se od tog broja oduzme broj [inlmath]792[/inlmath] dobije se broj koji ima iste cifre, ali u obrnutom poretku. Ako se prva cifra datog broja umanji za [inlmath]4[/inlmath], dobija se broj cije su cifre uzastopni clanovi aritmeticke progresije. Odrediti taj broj. (sigurno postoji neka caka za te cifre, ali ja je ocigledno ne znam)

Postoji, naravno.

Cifre trocifrenog broja su uzastopni članovi geometrijske progresije:
Dati trocifren broj je jednak [inlmath]100a_1+10a_2+a_3=100a_1+10a_1q+a_1q^2[/inlmath]

Ako se od tog broja oduzme broj [inlmath]792[/inlmath] dobije se broj koji ima iste cifre, ali u obrnutom poretku:
[dispmath]100a_1+\cancel{10a_1q}+a_1q^2-792=100a_1q^2+\cancel{10a_1q}+a_1\\
99a_1-99a_1q^2=792\\
a_1-a_1q^2=8\\
a_1\left(1-q^2\right)=8\quad\left(1\right)[/dispmath]
Ako se prva cifra datog broja umanji za [inlmath]4[/inlmath], dobija se broj čije su cifre uzastopni članovi aritmetičke progresije:
[dispmath]\left.\begin{array}{ll}
\left(a_1-4\right)+d=a_1q \\
a_1q+d=a_1q^2\end{array}\right\}
\quad\Rightarrow\quad\left(a_1-4\right)+a_1q^2-a_1q=a_1q\quad\Rightarrow[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad a_1\left(q^2-2q+1\right)=4\quad\Rightarrow\quad a_1\left(q-1\right)^2=4\quad\left(2\right)[/dispmath]
Jednačinu [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] podelimo jednačinom [inlmath]\left(2\right)[/inlmath]:
[dispmath]\frac{\cancel{a_1}\left(1-q^2\right)}{\cancel{a_1}\left(q-1\right)^2}=\frac{8}{4}[/dispmath][dispmath]-\frac{q^2-1}{\left(q-1\right)^2}=2[/dispmath][dispmath]-\frac{\cancel{\left(q-1\right)}\left(q+1\right)}{\left(q-1\right)^{\cancel{2}}}=2[/dispmath][dispmath]-q-1=2q-2[/dispmath][dispmath]q=\frac{1}{3}\quad\left(3\right)[/dispmath][dispmath]\left(1\right),\left(3\right)\quad\Rightarrow\quad a_1\left(1-\frac{1}{9}\right)=8[/dispmath][dispmath]a_1=9[/dispmath]Cifre traženog broja su:
[dispmath]a_1=9\\
a_2=a_1q=3\\
a_3=a_1q^2=1[/dispmath]
Prema tome, to je broj [inlmath]931[/inlmath].

Provera:
Cifre trocifrenog broja su uzastopni članovi geometrijske progresije:
[inlmath]9,3,1\quad[/inlmath]

Ako se od tog broja oduzme broj [inlmath]792[/inlmath] dobije se broj koji ima iste cifre, ali u obrnutom poretku:
[inlmath]931-792=139\quad[/inlmath]

Ako se prva cifra datog broja umanji za [inlmath]4[/inlmath], dobija se broj čije su cifre uzastopni članovi aritmetičke progresije:
[inlmath]\left(9-4\right),3,1\quad\Rightarrow\quad 5,3,1\quad[/inlmath]

sevdah baby je napisao:3. Dat je niz sa opstim clanom [inlmath]a_n[/inlmath], gde je [inlmath]a_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdots +\frac{1}{2^n}\;\left(n\in\mathbb{N}\right)[/inlmath]. Koliko clanova niza je manje od broja [inlmath]\frac{65535}{65536}[/inlmath]? (izracunam [inlmath]a_n[/inlmath], kao zbir prvih [inlmath]n[/inlmath] clanova geometrijske progresije i dalje nemam pojma).

Tako je. I onda, pošto je niz rastući, samo još postaviš uslov da je [inlmath]a_n<\frac{65535}{65536}[/inlmath] i odatle nađeš da je [inlmath]n<16[/inlmath], što znači da prvih [inlmath]15[/inlmath] (što znači i ukupno [inlmath]15[/inlmath]) članova niza zadovoljava zadati uslov.

(HINT: [inlmath]65536[/inlmath] je [inlmath]2^{16}[/inlmath], a [inlmath]65535[/inlmath] je [inlmath]2^{16}-1[/inlmath].)

Jao boze volim teeeeeeeeee!!! Nemas pojma koliko mi olaksava ovo, mislim ceo forum i ideja, svaka cast!
Imam jos tri nejasna zadatka iz iste oblasti, pa ako moze pomoc
1. Dat je niz [inlmath]a_1=2,\:a_2=3,\:a_3=6,\:a_4=11,\:a_5=18,\:\ldots[/inlmath] takav da razlike uzastopnih clanova obrazuju aritmeticki niz. I onda ima par ponudjenih odgovora a resenje bi trebalo da bude [inlmath]245000<a_{500}<250000[/inlmath]
(ok, dobijem niz [inlmath]1,3,5,7,\ldots,2n-1[/inlmath] i onda tu nesto pokusavam i nista ne dobijem na kraju xD)
2. Prvi, treci i sedmi clan aritmeticke progresije cine prva tri clana geometrijske progresije. Cetvrti clan geometrijske pogresije je u aritmetickoj progresiji koji clan?
3. Ako su [inlmath]375[/inlmath], [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath], [inlmath]c[/inlmath], [inlmath]d[/inlmath] i [inlmath]-0.12[/inlmath] uzastopni clanovi geometrijskog niza, onda je [inlmath]b+c[/inlmath]? (Ja sam dobila [inlmath]18[/inlmath], a u resenjima je [inlmath]12[/inlmath], znam da je kod aritmetickog zbir krajnjih, predkrajnjih itk jedak, a ovde je proizvod krajnjih, predkrajnjih jednak, zar ne? )

sevdah baby je napisao:3. Ako su [inlmath]375[/inlmath], [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath], [inlmath]c[/inlmath], [inlmath]d[/inlmath] i [inlmath]-0.12[/inlmath] uzastopni clanovi geometrijskog niza, ona je [inlmath]b+c[/inlmath]? (Ja sam dobila [inlmath]18[/inlmath], a u resenjima je [inlmath]12[/inlmath], znam da je kod aritmetickog zbir krajnjih, predkrajnjih itk jedak, a ovde je proizvod krajnjih, predrajnjih jednak, zar ne? )

Tacno znam gde si pogresila
[dispmath]b+c=12\\
b=15\\
c=-3\\
b+c=15+(-3)=15-3=12\\
q=-0.2[/dispmath]
Ako nije jasno, reci, pa da napisem ceo postupak.

sevdah baby je napisao:2. Prvi, treci i sedmi clan aritmeticke progresije cine prva tri clana geometrijske progresije. Cetvrti clan geometrijske pogresije je u aritmetickoj progresiji koji clan?

[dispmath]\frac{a_1+2d}{a_1}=\frac{a_1+6d}{a_1+2d}[/dispmath]
i dobijes da je [inlmath]a_1=2d[/inlmath]
pa zatim racunas
[dispmath]\frac{x}{a_1+6d}=\frac{a_1+6d}{a_1+2d}[/dispmath]
pa dobijes da je [inlmath]x=16d[/inlmath] sto moze da se napise kao [inlmath]2d+14d[/inlmath] tj. [inlmath]a_1+14d[/inlmath] tj. [inlmath]a_{15}[/inlmath]
Prvi cu da pogledam jos malo - nesto mi je cudan - da se nije neka greska provukla?

Što se [inlmath]2.[/inlmath] zadatka tiče, on je već bio rešen na ovom forumu, ali ne smeta da imamo i više načina rešavanja. Ovde možeš pogledati i taj prethodni način rešavanja (poslednji zadatak u tom postu).

sevdah baby je napisao:1. Dat je niz [inlmath]a_1=2,\:a_2=3,\:a_3=6,\:a_4=11,\:a_5=18,\:\ldots[/inlmath] takav da razlike uzastopnih clanova obrazuju aritmeticki niz. I onda ima par ponudjenih odgovora a resenje bi trebalo da bude [inlmath]245000<a_{500}<250000[/inlmath]
(ok, dobijem niz [inlmath]1,3,5,7,\ldots,2n-1[/inlmath] i onda tu nesto pokusavam i nista ne dobijem na kraju xD)

[dispmath]\begin{array}{l}
a_1=2\\
a_2=2+1\\
a_3=2+\underbrace{1+3}_{2\text{ sabirka}}\\
a_4=2+\underbrace{1+3+5}_{3\text{ sabirka}}\\
a_5=2+\underbrace{1+3+5+7}_{4\text{ sabirka}}\\
\vdots\\
a_n=2+\underbrace{1+3+5+\cdots+(2n-5)+(2n-3)}_{n-1\text{ sabiraka}}
\end{array}[/dispmath] Znači, [inlmath]n[/inlmath]-ti član datog niza jednak je broju [inlmath]2[/inlmath] uvećanom za sumu od [inlmath](n-1)[/inlmath] članova aritmetičkog niza čiji je prvi član [inlmath]1[/inlmath], a poslednji član [inlmath](2n-3)[/inlmath]:
[dispmath]a_n=2+\frac{n-1}{2}[1+(2n-3)]=\cdots=(n-1)^2+2[/dispmath] Provera:
[inlmath]a_1=(1-1)^2+2=2\quad[/inlmath]
[inlmath]a_2=(2-1)^2+2=3\quad[/inlmath]
[inlmath]a_3=(3-1)^2+2=6\quad[/inlmath]
[inlmath]a_4=(4-1)^2+2=11\quad[/inlmath]
[inlmath]a_5=(5-1)^2+2=18\quad[/inlmath]

Sad ti nije problem da nađeš [inlmath]a_{500}[/inlmath], uz napomenu da, ako [inlmath]a_{500}[/inlmath] tražiš bez upotrebe kalkulatora, zgodnije ti je da izraz [inlmath]a_n[/inlmath] umesto u obliku [inlmath](n-1)^2+2[/inlmath], napišeš u obliku [inlmath]n^2-2n+3[/inlmath].

sevdah baby je napisao:3. Ako su [inlmath]375[/inlmath], [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath], [inlmath]c[/inlmath], [inlmath]d[/inlmath] i [inlmath]-0.12[/inlmath] uzastopni clanovi geometrijskog niza, onda je [inlmath]b+c[/inlmath]? (Ja sam dobila [inlmath]18[/inlmath], a u resenjima je [inlmath]12[/inlmath], znam da je kod aritmetickog zbir krajnjih, predkrajnjih itk jednak, a ovde je proizvod krajnjih, predkrajnjih jednak, zar ne? )

Da, kod geometrijskog niza jeste [inlmath]a_1a_n=a_2a_{n-1}=a_3a_{n-2}=\cdots[/inlmath], ali ne uspevam da vidim kako se to može primeniti u ovom zadatku?

Daniel je napisao:Broj članova tog podniza je [inlmath]n[/inlmath], a količnik je [inlmath]q^2[/inlmath]

Kako da znam koliko mi je količnik?

sevdah baby je napisao:3. Dat je niz sa opstim clanom [inlmath]a_n[/inlmath], gde je [inlmath]a_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdots+\frac{1}{2^n}\;\left(n\in\mathbb{N}\right)[/inlmath]. Koliko clanova niza je manje od broja [inlmath]\frac{65535}{65536}[/inlmath]? (izracunam [inlmath]a_n[/inlmath], kao zbir prvih [inlmath]n[/inlmath] clanova geometrijske progresije i dalje nemam pojma).

Ne uspevam da nađem ovo [inlmath]a_n[/inlmath].

andrijana_ je napisao:

Daniel je napisao:Broj članova tog podniza je [inlmath]n[/inlmath], a količnik je [inlmath]q^2[/inlmath]

Kako da znam koliko mi je količnik?

Podniz je napravljen od svakog drugog člana početnog niza. Ako je količnik početnog niza [inlmath]q[/inlmath], tada je [inlmath]a_n=a_{n-1}q=\left(a_{n-2}q\right)q=a_{n-2}q^2[/inlmath]. To znači da će odnos [inlmath]\frac{a_n}{a_{n-2}}[/inlmath] biti jednak [inlmath]q^2[/inlmath], što znači da će kod podniza koji se sastoji od svakog drugog člana početnog niza količnik biti upravo [inlmath]q^2[/inlmath].

Ako ovo nije bilo sasvim jasno, posmatrajmo prvih nekoliko članova početnog niza s količnikom [inlmath]q[/inlmath]:
[dispmath]a_1\\
a_2=a_1q\\
a_3=a_1q^2\\
a_4=a_1q^3\\
a_5=a_1q^4\\
\vdots[/dispmath]
Sada formiramo podniz koji će se sastojati samo od članova na neparnim mestima, tj. [inlmath]a_1,a_3,a_5,\ldots[/inlmath]
[dispmath]a_1\\
a_3=a_1q^2\\
a_5=a_1q^4\\
\vdots[/dispmath]
Vidimo da je u ovom novom podnizu odnos svaka dva susedna člana [inlmath]q^2[/inlmath].

andrijana_ je napisao:

sevdah baby je napisao:3. Dat je niz sa opstim clanom [inlmath]a_n[/inlmath], gde je [inlmath]a_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdots+\frac{1}{2^n}\;\left(n\in\mathbb{N}\right)[/inlmath]. Koliko clanova niza je manje od broja [inlmath]\frac{65535}{65536}[/inlmath]? (izracunam [inlmath]a_n[/inlmath], kao zbir prvih [inlmath]n[/inlmath] clanova geometrijske progresije i dalje nemam pojma).

Ne uspevam da nađem ovo [inlmath]a_n[/inlmath].

Upravo kao što je @sevdah baby i napisala – [inlmath]a_n[/inlmath] predstavlja sumu prvih [inlmath]n[/inlmath] članova geometrijskog niza, kod kojeg je prvi član [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], a količnik niza je takođe [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]. Formulu za sumu geometrijskog niza znaš.

Daniel je napisao:[dispmath]a_n=2+\underbrace{1+3+5+\cdots+(2n-5)+(2n-3)}_{n-1\text{ sabiraka}}[/dispmath]

Ako moze samo jedno pitanje Daniele, dosadasnji postupak mi je savrseno jasan, razumeo sam kako se svaki clan uvecava u odnosu na prethodni, ali u ovom koraku mi je malo nejasno, kako da znam koji je 'opsti zapis' za neki clan iz ovog dela?
[dispmath]1+3+5+7+9+\cdots+(2n-3)[/dispmath] Bas konkretno me zanima za ovo
[dispmath](2n-3)[/dispmath] To jeste poslednji clan tog 'niza' koji dodajemo sledecem clanu, ali ne znam kako sam da zakljucim tako uopsten zapis koji vazi za poslednji ili bilo koji broj.. Pre njega ide
[dispmath](2n-5)[/dispmath] Pa verovatno umesto [inlmath]-5[/inlmath] stavljamo [inlmath]-7[/inlmath], itd.. Zadatak nije standardni i nije toliko lagan za razumeti.. Unapred hvala, postupak mi svakako mnogo znaci

Pretpostavljam da ti je jasan ovaj deo za prvih pet članova:

Daniel je napisao:[dispmath]\begin{array}{l}
a_1=2\\
a_2=2+1\\
a_3=2+\underbrace{1+3}_{2\text{ sabirka}}\\
a_4=2+\underbrace{1+3+5}_{3\text{ sabirka}}\\
a_5=2+\underbrace{1+3+5+7}_{4\text{ sabirka}}
\end{array}[/dispmath]

Dakle, član [inlmath]a_2[/inlmath] dobijemo tako što dvojci dodamo prvi neparan broj (tj. jedinicu), član [inlmath]a_3[/inlmath] dobijemo tako što dvojci dodamo prva dva neparna broja ([inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath]), član [inlmath]a_4[/inlmath] dobijemo tako što dvojci dodamo prva tri neparna broja ([inlmath]1[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath]) itd... Znači, član [inlmath]a_n[/inlmath] dobijemo tako što dvojci dodamo prvih [inlmath](n-1)[/inlmath] neparnih brojeva. To jest, dvojci dodajemo sumu aritmetičkog niza (označimo ga sa [inlmath]\{b_k\}[/inlmath]) čiji je prvi član [inlmath]b_1=1[/inlmath] (prvi neparan broj), čija je razlika [inlmath]d=2[/inlmath] (razlika dva susedna neparna broja), a koji ima ukupno [inlmath](n-1)[/inlmath] članova. Poslednji član niza [inlmath]\{b_k\}[/inlmath] možemo naći po formuli [inlmath]b_k=b_1+(k-1)d[/inlmath], pa kada umesto [inlmath]k[/inlmath] uvrstimo broj članova tog niza, [inlmath](n-1)[/inlmath], dobijemo [inlmath]b_{n-1}=1+(n-2)\cdot2=2n-3[/inlmath] kao poslednji član niza [inlmath]\{b_k\}[/inlmath].

Može i na drugi način, tako što znamo da [inlmath]a_n[/inlmath] dobijemo tako što dvojci dodajemo određen broj prvih neparnih brojeva, tj. napišemo [inlmath]a_n=2+1+3+5+\cdots+(2n+k)[/inlmath], gde je [inlmath]k[/inlmath] neparno. Ovde smo sa [inlmath](2n+k)[/inlmath] napisali poslednji neparan broj iz tog niza, i potrebno je samo da odredimo koliko je to [inlmath]k[/inlmath]. Uvrstimo bilo koji od poznatih članova niza u [inlmath]a_n=2+1+3+5+\cdots+(2n+k)[/inlmath] i naći ćemo [inlmath]k[/inlmath].
Npr. [inlmath]a_2=2+1=2+1+3+5+\cdots+(4+k)[/inlmath], sledi [inlmath]4+k=1[/inlmath], tj. [inlmath]k=-3[/inlmath].
Ili, [inlmath]a_3=2+1+3=2+1+3+5+\cdots+(6+k)[/inlmath], sledi [inlmath]6+k=3[/inlmath], tj. [inlmath]k=-3[/inlmath].
Itd...

Marko26 je napisao:Ako moze samo jedno pitanje Danijele,

Ovo sam ti ispravio. Zaista mi nije jasno zašto toliko ljudi greši oko mog imena, kad u mom profilu jasno piše Daniel.

HVALA VAM PUNO!!! Sada mi je sve kristalno jasno! Izvinjavam se oko imena, da znam za ubuduce

Sve OK. Ne moramo se persirati. Drago mi je da sam pomogao.

Mnogo se mucim sa ovakvim zadacima kod progresije gde imam jednacine sa vise nepoznatih. Moze li neko da mi kaze jel to mora da se radi pomocu determinante ili postoji neki drugi nacin?

Najbolje bi bilo da postavis zadatak u kojem se trazi resavanje sistema koji te muci. Naravno taj zadatak postavi u novu temu.
Naravno da resavanje sistema preko determinanti nije jedini nacin, all o tome cemo vise kad okacis zadatak. Ovako napamet nema efekta.
Preko determinanti resavamo sisteme linearnih jednacina.