MATEMANIJA

Dokazati da je [inlmath]\displaystyle\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{2^{n-1}-1}{2^{n-1}}[/inlmath] za svako [inlmath]n\geq2[/inlmath].

da li ovde posle testiranja za [inlmath]T(2)[/inlmath] treba da se ubaci u sledeci [inlmath]T(n+2)[/inlmath] ili [inlmath]T(n+1)[/inlmath] da bi se dokazalo,probao sam oba ali mi nije uspelo!

Odd one out je napisao:da li ovde posle testiranja za [inlmath]T(2)[/inlmath] treba da se ubaci u sledeci [inlmath]T(n+2)[/inlmath] ili [inlmath]T(n+1)[/inlmath] da bi se dokazalo,probao sam oba ali mi nije uspelo!

Potrebno je dokazati za svaki [inlmath]T(n+1)[/inlmath]. Da je u zadatku naznačeno, na primer, da pretpostavku treba dokazati za sve parne [inlmath]n[/inlmath], onda bismo stavljali [inlmath]T(n+2)[/inlmath]. Evo ceo zadatak:

[inlmath]1.[/inlmath]
[dispmath]\sum_{k=2}^2\frac{1}{2^{k-1}}=\frac{1}{2}=\frac{2^{2-1}-1}{2^{2-1}}[/dispmath]
[inlmath]2.[/inlmath]
[dispmath]\sum_{k=2}^n\frac{1}{2^{k-1}}+\frac{1}{2^{(n+1)-1}}=\frac{2^{n-1}-1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^n}=[/dispmath][dispmath]\frac{2\cdot\left(2^{n-1}-1\right)}{2\cdot 2^{n-1}}+\frac{1}{2^n}=\frac{2^{(n-1)+1}-2}{2^{(n-1)+1}}+\frac{1}{2^n}=[/dispmath][dispmath]\frac{2^n-2}{2^n}+\frac{1}{2^n}=\frac{2^n-2+1}{2^n}=[/dispmath][dispmath]\frac{2^{(n+1)-1}-1}{2^{(n+1)-1}}=\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2^{k-1}}[/dispmath]

hvala