Kako da znam da je neka funkcija zadata u zadatku neprekidna? Tj, kako to mogu najbrže da odredim?

Na primer kod ove funkcije:
[dispmath]\ln\left[\left(\sin{6x}+\cos{2x}\right)^\frac{1}{e^{3x}-1}\right][/dispmath]
Kako da znam da li je ona prekidna ili ne? :/

Uslovi za definisanost ove funkcije su:

1) eksponent [inlmath]\frac{1}{e^{3x}-1}[/inlmath] mora biti definisan, a biće definisan ako i samo ako mu je imenilac različit od nule:
[dispmath]e^{3x}-1\ne 0\quad\Rightarrow\quad e^{3x}\ne 1\quad\Rightarrow\quad 3x\ne 0\quad\Rightarrow\quad x\ne 0[/dispmath]
2) prirodni logaritam ([inlmath]\ln[/inlmath]) definisan je ako i samo ako je njegov argument strogo veći od nule (tj. ne sme biti negativan i ne sme biti nula):
[dispmath]\sin{6x}+\cos{2x}>0[/dispmath]
Da bismo ovo rešili, izrazićemo sinus u prvom sabirku preko kosinusa, a zatim ćemo primeniti transformaciju zbira u proizvod trigonometrijskih funkcija:
[dispmath]\cos\left(\frac{\pi}{2}-6x\right)+\cos{2x}>0[/dispmath]
[dispmath]2\cos\frac{\frac{\pi}{2}-4x}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{2}-8x}{2}>0[/dispmath]
[dispmath]\cos\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-4x\right)>0[/dispmath]
Ova nejednačina će biti tačna ako su oba faktora veća od nule, ili ako su oba faktora manja od nule. Razmatramo oba slučaja:

1. slučaj:
[dispmath]\cos\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)>0\quad\land\quad\cos\left(\frac{\pi}{4}-4x\right)>0[/dispmath]
[dispmath]-\frac{\pi}{2}+2k\pi<\frac{\pi}{4}-2x<\frac{\pi}{2}+2k\pi\quad\land\quad-\frac{\pi}{2}+2k\pi<\frac{\pi}{4}-4x<\frac{\pi}{2}+2k\pi[/dispmath]
[dispmath]-\frac{3\pi}{4}+2k\pi<-2x<\frac{\pi}{4}+2k\pi\quad\land\quad-\frac{3\pi}{4}+2k\pi<-4x<\frac{\pi}{4}+2k\pi[/dispmath]
[dispmath]-\frac{3\pi}{8}+k\pi<-x<\frac{\pi}{8}+k\pi\quad\land\quad-\frac{3\pi}{16}+\frac{k\pi}{2}<-x<\frac{\pi}{16}+\frac{k\pi}{2}[/dispmath]
[dispmath]-\frac{\pi}{8}+k\pi<x<\frac{3\pi}{8}+k\pi\quad\land\quad-\frac{\pi}{16}+\frac{k\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{16}+\frac{k\pi}{2}[/dispmath]
Presek ova dva podslučaja je
[dispmath]-\frac{\pi}{16}+k\pi<x<\frac{3\pi}{16}+k\pi[/dispmath]
2. slučaj:
[dispmath]\cos\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)<0\quad\land\quad\cos\left(\frac{\pi}{4}-4x\right)<0[/dispmath]
[dispmath]\frac{\pi}{2}+2k\pi<\frac{\pi}{4}-2x<\frac{3\pi}{2}+2k\pi\quad\land\quad\frac{\pi}{2}+2k\pi<\frac{\pi}{4}-4x<\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/dispmath]
[dispmath]\frac{\pi}{4}+2k\pi<-2x<\frac{5\pi}{4}+2k\pi\quad\land\quad\frac{\pi}{4}+2k\pi<-4x<\frac{5\pi}{4}+2k\pi[/dispmath]
[dispmath]\frac{\pi}{8}+k\pi<-x<\frac{5\pi}{8}+k\pi\quad\land\quad\frac{\pi}{16}+\frac{k\pi}{2}<-x<\frac{5\pi}{16}+\frac{k\pi}{2}[/dispmath]
[dispmath]-\frac{5\pi}{8}+k\pi<x<-\frac{\pi}{8}+k\pi\quad\land\quad-\frac{5\pi}{16}+\frac{k\pi}{2}<x<-\frac{\pi}{16}+\frac{k\pi}{2}[/dispmath]
Presek ova dva podslučaja je
[dispmath]-\frac{5\pi}{8}+k\pi<x<-\frac{9\pi}{16}+k\pi\quad\lor\quad-\frac{5\pi}{16}+k\pi<x<-\frac{\pi}{8}+k\pi[/dispmath]
I, kada nađemo uniju ova dva slučaja, ona će biti
[dispmath]-\frac{\pi}{16}+k\pi<x<\frac{3\pi}{16}+k\pi\quad\lor\quad-\frac{5\pi}{8}+k\pi<x<-\frac{9\pi}{16}+k\pi\quad\lor\quad-\frac{5\pi}{16}+k\pi<x<-\frac{\pi}{8}+k\pi[/dispmath]
Dakle, konačno rešenje glasi – da bi funkcija bila definisana, mora biti ispunjeno:
[dispmath]x\in\left\{\left(-\frac{5\pi}{8}+k\pi,-\frac{9\pi}{16}+k\pi\right)\cup\left(-\frac{5\pi}{16}+k\pi,-\frac{\pi}{8}+k\pi\right)\cup\left(-\frac{\pi}{16}+k\pi,\frac{3\pi}{16}+k\pi\right)\right\}\setminus\{0\}[/dispmath]