[inlmath]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/inlmath] je neprekidna i ogranicena. Iz toga sledi [inlmath](\exists a\in\mathbb{R})f(a)=a^3[/inlmath]. Dokazati.

Pomoćna funkcija je [inlmath]F(x)=f(x)-x^3[/inlmath]. Pošto nemam tačan interval, uzeo sam [inlmath][x,f(x)][/inlmath], gde je, naravno, [inlmath]x[/inlmath] manje od [inlmath]f(x)[/inlmath]. Dalje, [inlmath]F(x)=f(x)-x^2[/inlmath], [inlmath]F\bigl(f(x)\bigr)=f\bigl(f(x)\bigr)-f(x)^3[/inlmath].
PItanje - da li sam na dobrom putu, i u slučaju da jesam, kako da ga završim?
Hvala unapred.

Hajd, za početak, da razjasnimo sledeće:

bakinatajna je napisao:Pomoćna funkcija je [inlmath]F(x)={\color{red}f(x)}-x^3[/inlmath]. Pošto nemam tačan interval, uzeo sam [inlmath][x,{\color{blue}f(x)}][/inlmath],

Da li je na ova dva mesta (crveno i plavo) ista funkcija [inlmath]f(x)[/inlmath] (ako jeste, zbog čega?) ili su to različite funkcije koje su samo obeležene isto?

bakinatajna je napisao:Dalje, [inlmath]F(x)=f(x)-x^{\color{red}2}[/inlmath], [inlmath]F\bigl(f(x)\bigr)=f\bigl(f(x)\bigr)-f(x)^3[/inlmath].

Pretpostavljam da umesto crvene dvojke treba da stoji trojka?

Za oznaku pripadnosti skupu već sam ti napomenuo da se ne koristi \epsilon, već \in. Znači, ne [inlmath]\epsilon[/inlmath] već [inlmath]\in[/inlmath].

@bakinatajna: Primetiti da je dato da je [inlmath]f[/inlmath] ogranicena, tj. da postoji [inlmath]M>0[/inlmath] tako da je [inlmath]|f(x)|<M[/inlmath]. Sa druge strane, [inlmath]x^3[/inlmath] je neogranicena funkcija na [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]. Prva pomocna funkcija je dobra, no segment na koji si primenjivao je malo cudan jer je [inlmath]x[/inlmath] promenljiva, odnosno nije fiksirano. Dakle, sam pocetak je dobar, ostatak nije.