Jedan od zadataka sa prilično elegantnim i neobičnim rešenjem, što ga svrstava u kategoriju takmičarskih. Pa dragi takmičari (a i ostali zainteresovani), okušajte se :

Zadatak (Takmičenje MATF 2019++, B kategorija, 1. zadatak): Naći sve parove realnih brojeva [inlmath](p,q)[/inlmath] takve da kvadratne jednačine
[dispmath]x^2+2px+3q=0\text{ i }2px^2+3qx+8=0[/dispmath] imaju jednu zajedničku realnu nulu, pri čemu je zbir dvostruke vrednosti druge nule prve jednačine i druge nule druge jednačine jednak [inlmath]3[/inlmath].

Pozdrav, mozda bih probao ovako:
[dispmath]x^2+2px+3q=0\;\land\;2px^2+3qx+8=0[/dispmath] Uzmemo prvu jednačinu i izvrstimo [inlmath]q[/inlmath] i uvrstimo u drugu:
[dispmath]x^2+2px+3q=0\\
3q=-x^2-2px\\
\enclose{box}{q=-\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}px}\\
2px^2+3x\left(-\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}px\right)+8=0\\
\cancel{2px^2}-x^3\cancel{-2px^2}+8=0\\
-x^3+8=0\\
\enclose{box}{x=2}[/dispmath] Uvrstavanjem [inlmath]x=2[/inlmath] u prvu jednačinu dobijamo:
[dispmath]4+4p+3q=0\\
4p+3q=-4[/dispmath] Iz uslova imamo da je [inlmath]2x_1+x_2=3[/inlmath]. Prema Vijetovim formulama dobijamo:
[dispmath]2+x_1=-2p\\
2\cdot x_1=3q\\
2+x_2=-\frac{3q}{2p}\\
2\cdot x_2=\frac{4}{p}\\
x_1=\frac{3q}{2}\;\Longrightarrow\;\enclose{box}{x_1=-2-2p}\\
\enclose{box}{x_2=\frac{2}{p}}\\
2x_1+x_2=3\\
-4-4p+\frac{2}{p}=3\\
-4p-4p^2+2=3p\\
4p^2+7p-2=0\\
\enclose{box}{p_1=\frac{1}{4}}\;\land\;\enclose{box}{p_2=-2}[/dispmath] Uvrstavanjem u izraz [inlmath]4p+3q=-4[/inlmath] dobijamo [inlmath]q[/inlmath]:
[dispmath]\enclose{box}{q_1=-\frac{5}{3}}\;\land\;\enclose{box}{q_2=\frac{4}{3}}[/dispmath] Konačno:
[dispmath](p_1,q_1)=\left(\frac{1}{4},-\frac{5}{3}\right)\\
(p_2,q_2)=\left(-2,\frac{4}{3}\right)[/dispmath]

Da, ideja je da se prvo utvrdi da je zajedničko rešenje te dve jednačine uvek [inlmath]x=2[/inlmath] bez obzira na izbor [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath]. Jedina "zamerka" je to da postoji elegantniji način da dodjemo do te činjenice:

Ukoliko proširimo prvu jednačinu sa [inlmath]x[/inlmath] i od tako dobijene jednačine oduzmemo drugu, ponovo dobijamo [inlmath]x^3=8[/inlmath].

Svakako, na takmičenju je ovaj zadatak u potpunosti rešilo dvoje učenika, a učestvovalo je njih 42. Prilično interesantan zadatak koji nije moguće raditi isključivo preko Vietovih formula nego zahteva neobičniji pristup.

drmm je napisao:Da, ideja je da se prvo utvrdi da je zajedničko rešenje te dve jednačine uvek [inlmath]x=2[/inlmath] bez obzira na izbor [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath].

Formulisao bih ovu rečenicu malo preciznije, kako ne bi došlo do zabune. Te dve jednačine neće uvek (za bilo koje vrednosti [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath]) imati zajedničko rešenje, ali ako imaju zajedničko rešenje onda je to rešenje [inlmath]x=2[/inlmath], a to se dešava onda i samo onda kada su [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] u takvoj međusobnoj vezi da je [inlmath]4p+3q=-4[/inlmath].

I, zamolio bih da se ne kače zadaci za koje na zvaničnim sajtovima već postoje objavljeni kompletni postupci, kao što s ovim zadatkom jeste slučaj (osim u slučaju kada objavljen postupak nije jasan pa se pitanje odnosi na deo tog postupka – ali i tada je potrebno postaviti link ka originalnom postupku).