Naći inverznu funkciju:
[dispmath]f(x)=-x^2+2x+13[/dispmath][dispmath]y=-x^2+2x+13[/dispmath][dispmath]-x^2+2x=y-13\quad /(-1)[/dispmath][dispmath]x^2-2x=13-y[/dispmath][dispmath]\left(x^2-2x+1\right)-1=13-y[/dispmath][dispmath](x-1)^2=14-y[/dispmath][dispmath]\sqrt{(x-1)^2}=\sqrt{14-y}[/dispmath][dispmath]x-1=\sqrt{14-y}[/dispmath][dispmath]x=\sqrt{14-y}+1[/dispmath][dispmath]f^{-1}(x)=\sqrt{14-x}+1[/dispmath]
Da li sam ovo dobro uradila?

Ista priča kao i u prethodnom zadataku – [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] nije injektivna, prema tome, nema inverznu funkciju. Međutim, pošto funkcija [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] predstavlja parabolu, ako bismo posmatrali samo jedan krak te parabole, takva funkcija bi bila injektivna i za nju bismo mogli naći inverznu funkciju. Za tako definisanu funkciju, koja predstavlja jedan krak te parabole, tvoj postupak bi bio ispravan, s tim da treba obratiti pažnju na korak
[dispmath]\sqrt{\left(x-1\right)^2}=\sqrt{14-y}[/dispmath]
iz kojeg sledi
[dispmath]\left|x-1\right|=\sqrt{14-y}[/dispmath]
tj.
[dispmath]x-1=\pm\sqrt{14-y}[/dispmath][dispmath]x=1\pm\sqrt{14-y}[/dispmath]
E sad, da li ćemo uzeti plus ili minus, zavisi od toga da li tražimo inverznu funkciju za levi ili za desni krak parabole. Ako tražimo za levi krak, uzimamo minus, a ako tražimo za desni krak, uzimamo plus.

Šta parabola ne more bit inverzna s obzirom na os [inlmath]x[/inlmath] ?

Zato što se kod parabole dve različite vrednosti [inlmath]x[/inlmath] preslikavaju u jednu vrednost [inlmath]y[/inlmath]. (Primer: [inlmath]y=x^2[/inlmath], [inlmath]\left(-3\right)^2=3^2=9.[/inlmath]) Ako bismo pretpostavili da za takvu funkciju postoji inverzna funkcija, onda bi se kod takve inverzne funkcije jedna vrednost [inlmath]x[/inlmath] preslikavala u dve vrednosti [inlmath]y[/inlmath], pa time ne bi bio ispunjen uslov koji funkcija mora da ima, a to je jednoznačnost, prema tome, to ne bi bila funkcija. Kontradikcija.

Da malo dopunim svoje prethodno objašnjenje.

Grafički posmatrano, kada funkcija nije injektivna, mogla bi se povući takva horizontalna linija koja bi grafik te funkcije presecala u više od jedne tačke. Kod injektivne funkcije, koju god horizonatlnu liniju da povučemo, ona može grafik te funkcije da seče najviše u jednoj tački. Pošto znamo da je grafik inverzne funkcije simetričan originalnoj funkciji u odnosu na pravac [inlmath]y=x[/inlmath] (tj. na simetralu [inlmath]x[/inlmath]- i [inlmath]y[/inlmath]-ose, inverzna funkcija neinjektivne funkcije bi imala takav grafik, da bi bilo moguće povući vertikalnu liniju takvu da preseca grafik te inverzne funkcije u više od jedne tačke. To bi onda značilo da za neko [inlmath]x[/inlmath] funkcija ne bi imala tačno određenu vrednost, već bi mogla imati više od jedne vrednosti. A to onda nije funkcija.

Evo i ilustracije za zadatak s parabolom koji je ivzo postavila:


Plavo označena funkcija, [inlmath]y=1+\sqrt{14-x}[/inlmath], bila bi inverzna funkcija desnom kraku parabole i njemu bi bila simetrična u odnosu na pravac [inlmath]y=x[/inlmath].
Zeleno označena funkcija, [inlmath]y=1-\sqrt{14-x}[/inlmath], bila bi inverzna funkcija levom kraku parabole i njemu bi bila simetrična u odnosu na pravac [inlmath]y=x[/inlmath].
Inverzna funkcija cele parabole (tj. oba njena kraka) ne postoji, jer bi ona bila „unija“ plave i zelene funkcije, pa bi jednoj vrednosti nezavisne promenljive [inlmath]x[/inlmath] odgovarale dve vrednosti te inverzne funkcije, što bi bilo u kontradikciji s osobinama funkcije.

U prethodnom zadatku pored
[dispmath]f(x)=-x^2+2x+13[/dispmath]
stoji i
[dispmath]f:(-\infty,0]\to (-\infty,13][/dispmath]

Pa, da. To onda već ima smisla. Znači, posmatra se interval [inlmath]\left(-\infty,0\right][/inlmath] koji se preslikava u interval [inlmath]\left(-\infty,13\right][/inlmath].
Interval [inlmath]\left(-\infty,0\right][/inlmath] se odnosi na promenljivu [inlmath]x[/inlmath] (tj. predstavlja sve što je levo od [inlmath]y[/inlmath]-ose), dok interval [inlmath]\left(-\infty,13\right][/inlmath]predstavlja vrednosti funkcije na tom intervalu.
Pošto je [inlmath]y[/inlmath]-koordinata preseka kvadratne funkcije s [inlmath]y[/inlmath]-osom jednaka slobodnom članu, u ovom slučaju [inlmath]13[/inlmath], a ova funkcija, pošto joj je koeficijent uz kvadratni član negativan, ima krake okrenute prema dole, a teme prema gore, logično je da će se, za [inlmath]x[/inlmath] u intervalu [inlmath]\left(-\infty,0\right][/inlmath],, njene vrednosti nalaziti u intervalu [inlmath]\left(-\infty,13\right][/inlmath], kao što je crvenom bojom obeleženo na slici:


Pošto je [inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena kvadratne funkcije jednaka [inlmath]-\frac{b}{2a}[/inlmath], tj. u ovom slučaju [inlmath]1[/inlmath], a to je izvan zadatog opsega za [inlmath]x[/inlmath], to znači da je tim zadatim opsegom obuhvaćen samo deo leve parabole, tako da je funkcija na posmatranom intervalu injektivna i može joj se odrediti inverzna funkcija.
Pošto se [inlmath]x[/inlmath] za zadatu funkciju nalazi u intervalu [inlmath]\left(-\infty,0\right][/inlmath], u tom intervalu se mora nalaziti vrednost njoj inverzne funkcije. Zato, kad pri računanju inverzne funkcije dođemo do koraka
[dispmath]x=1\pm\sqrt{14-y}[/dispmath]
moramo odabrati minus, kako bi [inlmath]x[/inlmath], koje zapravo predstavlja vrednost inverzne funkcije, moglo imati negativne vrednosti. Ako bismo odabrali plus, [inlmath]x[/inlmath] bi moglo biti samo pozitivno, tj. ne bi se moglo naći unutar intervala [inlmath]\left(-\infty,0\right][/inlmath].

Tražena inverzna funkcija, [inlmath]f^{-1}\left(x\right)=1-\sqrt{14-x}[/inlmath], obeležena je na grafiku zelenom bojom.

---

Morate uvek priložiti sve podatke koji se nalaze u zadatku, svaki podatak je bitan