4. Odrediti inverznu funkciju date funkcije
[dispmath]y=\frac{e^x}{1-e^{-x}}[/dispmath]
može li neko da mi objasni ovaj zadatak?

Da bi našao inverznu funkciju, prvo [inlmath]y[/inlmath] označiš kao [inlmath]x[/inlmath] a [inlmath]x[/inlmath] kao [inlmath]y[/inlmath], tj. zameniš mesta promenljivama [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]:
[dispmath]x=\frac{e^y}{1-e^{-y}}[/dispmath]
i odatle sad treba da rešiš tu jednačinu po [inlmath]y[/inlmath], kako bi dobio novu funkciju (inverznu prethodnoj), [inlmath]y=f\left(x\right)[/inlmath].
Prvo, postavimo uslov da izraz [inlmath]x=\frac{e^y}{1-e^{-y}}[/inlmath] bude definisan, a to je da imenilac bude različit od nule:
[dispmath]1-e^{-y}\ne 0\quad\Rightarrow\quad e^{-y}\ne 1\quad\Rightarrow\quad -y\ne 0\quad\Rightarrow\quad y\ne 0[/dispmath]
Uz taj uslov, množimo obe strane sa [inlmath]\left(1-e^{-y}\right)[/inlmath]:
[dispmath]x\left(1-e^{-y}\right)=e^y[/dispmath][dispmath]x-xe^{-y}=e^y[/dispmath][dispmath]x-\frac{x}{e^y}=e^y[/dispmath]
Uvedemo smenu [inlmath]e^y=t[/inlmath]:
[dispmath]x-\frac{x}{t}=t\quad /\cdot t[/dispmath][dispmath]t^2-xt+x=0[/dispmath][dispmath]t_{1,2}=\frac{x\pm\sqrt{x^2-4x}}{2}[/dispmath]
Da bi ovaj izraz bio definisan, potkorena veličina ne sme biti negativna:
[dispmath]x^2-4x\ge 0\;\Rightarrow\;x\left(x-4\right)\ge 0\;\Rightarrow\;\underbrace{\left(x\ge 0\;\land\;x-4\ge 0\right)}_{x\ge 4}\;\lor\;\underbrace{\left(x\le 0\;\land\;x-4\le 0\right)}_{x\le 0}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad x\in\left(-\infty,0\right]\cup\left[4,+\infty\right)[/dispmath]
Vratimo smenu: [inlmath]e^y=t\;\Rightarrow\;y=\ln t[/inlmath]:
[dispmath]y_{1,2}=\ln\frac{x\pm\sqrt{x^2-4x}}{2}[/dispmath]
Da bi logaritam bio definisan, argument logaritamske funkcije mora biti strogo pozitivan. Odmah vidimo i to da, zbog toga, [inlmath]x[/inlmath] ne sme biti [inlmath]0[/inlmath]:
[dispmath]x\pm\sqrt{x^2-4x}>0[/dispmath]
[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]x\in\left(-\infty,0\right)[/inlmath]
[dispmath]x^2-4x>x^2\quad\Rightarrow\quad\sqrt{x^2-4x}>\sqrt{x^2}\quad\Rightarrow\quad\sqrt{x^2-4x}>\left|x\right|\quad\Rightarrow\quad\sqrt{x^2-4x}>-x[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\begin{cases}
x+\sqrt{x^2-4x}>0\\
\\
x-\sqrt{x^2-4x}<2x<0
\end{cases}[/dispmath]
Prema tome, logaritam će biti definisan onda i samo onda kada ispred korena imamo znak [inlmath]+[/inlmath].
Znači, za slučaj [inlmath]x<0[/inlmath],
[dispmath]y=\ln\frac{x+\sqrt{x^2-4x}}{2}[/dispmath]
i tada inverzna funkcija postoji.

[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]x\in\left[4,+\infty\right)[/inlmath]
[dispmath]x^2-4x<x^2\quad\Rightarrow\quad\sqrt{x^2-4x}<\sqrt{x^2}\quad\Rightarrow\quad\sqrt{x^2-4x}<\left|x\right|\quad\Rightarrow\quad\sqrt{x^2-4x}<x[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\begin{cases}
x+\sqrt{x^2-4x}>x>4\\
\\
x-\sqrt{x^2-4x}>0
\end{cases}[/dispmath]
Prema tome, logaritam će biti definisan za svako [inlmath]x[/inlmath] bez obzira na to da li se pred korenom nalazi [inlmath]+[/inlmath] ili [inlmath]-[/inlmath], tako da bismo za ovaj slučaj dobili dve inverzne funkcije, [inlmath]y_1=\ln\frac{x+\sqrt{x^2-4x}}{2}[/inlmath] i [inlmath]y_2=\ln\frac{x-\sqrt{x^2-4x}}{2}[/inlmath]. A pošto funkcija, po definiciji, mora biti jednoznačna, to znači da za [inlmath]x\in\left[4,+\infty\right)[/inlmath] inverzna funkcija ne postoji.