Zadatak je, rastavite na parcijalne faktore i odredite prirodnu domenu funkcije.
[dispmath]f(x)=\frac{x^2+x-1}{\left(x^2+1\right)^2}[/dispmath]
Ovako sam počeo.
[dispmath]x^4+2x^2+1=\left(x^2+1\right)^2[/dispmath]
Nul tačke: [inlmath]x^2+1=0\;\Rightarrow\;x^2=-1[/inlmath]
[dispmath]f(x)=\frac{x^2+x-1}{\left(x^2+1\right)^2}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{\left(x^2+1\right)^2}\quad /\cdot\left(x^2+1\right)^2[/dispmath][dispmath]x^2+x-1=(Ax+B)\left(x^2+1\right)+Cx+D[/dispmath][dispmath]x^2+x-1=Ax^3+Ax+Bx^2+B+Cx+D[/dispmath]
Po teoremu o jednakosti polinoma vredi:
[dispmath]A=0\\
B=1\\
A+C=1\;\Rightarrow\;C=1-A=1\\
B+D=-1\;\Rightarrow\;D=-B-1=-1-1=-2[/dispmath][dispmath]f(x)=\frac{x^2+x-1}{\left(x^2+1\right)^2}=\frac{0\cdot x+1}{x^2+1}+\frac{1\cdot x-2}{\left(x^2+1\right)^2}=\frac{1}{x^2+1}+\frac{x-2}{\left(x^2+1\right)^2}[/dispmath]
Da li je to tačno, dalje vas molim za pomoć, (odrediti domenu) Hvala.

Što se domena tiče. Gledaš da nazivnik ne smije biti nula.
[dispmath]\left(x^2+1\right)^2=0[/dispmath][dispmath]x^2+1=0[/dispmath][dispmath]x^2=-1[/dispmath]
I iz ovoga možeš da zaključiš da nema rješenja u skupu realnih brojeva. Tako da su svi realni brojevi domen ove funkcije.

Hvala. Da li je moj postupak tačan, tj. da li je [inlmath]B+D=-1\;\Rightarrow\;D=-B-1=-1-1=-2[/inlmath]

Da tačan je sada sam to pogledao. Jer kada sabereš ova dva razlomka dobiješ zadatu funkciju.

Jeste, rastav na parcijalne razlomke je OK.

Ali, nul tačke ne određuješ na način koji si napisao, [inlmath]x^2+1=0\;\Rightarrow\;x^2=-1[/inlmath]. Radi traženja nul tačaka ne izjednačavaš s nulom imenilac/nazivnik, već brojilac/brojnik. To je zbog toga što će vrednost funkcije biti nula (a to je ono što tražiš) onda kada je brojnik jednak nuli. A kada je nazivnik jednak nuli, tada vrednost funkcije nije definisana (Gamma ti je pokazao da u ovom zadatku nazivnik ni za jedno realno [inlmath]x[/inlmath] nije jednak nuli).

Zapravo, da li se u zadatku uopšte i traži da se odrede nul tačke ove funkcije? Ne vidim da to piše u tekstu.