Daniel je napisao:Nisam baš siguran u ispravnost postupka kojim ste radili, iako se na kraju dobije ispravan rezultat.

Možete li da, istim rezonom, uradite sledeći sličan zadatak (sâm sam smislio brojne vrednosti)?

Funkcija glasi [inlmath]f\left(x\right)=\left|2x+6\right|+3x-2[/inlmath]. Treba odrediti [inlmath]f^{-1}\left(-6\right)+f^{-1}\left(4\right)[/inlmath].
Rezultat koji treba da se dobije je [inlmath]-2[/inlmath].

Pitanje se nije odnosilo na mene (bar ne direktno), ali cu se ipak umesati. Evo, ovako bih ja rezonovao: prvo, zapisimo funkciju [inlmath]f[/inlmath] kao
[dispmath]f(x)=\begin{cases} 5x+4, & x\ge-3\\ x-8, & x<-3.\end{cases}[/dispmath]
Dobro, sad takodje primetimo da za [inlmath]x\ge-3[/inlmath] vrednosti od [inlmath]5x+4[/inlmath] pripadaju [inlmath][-11,+\infty)[/inlmath], dok za [inlmath]x<-3[/inlmath] vrednosti od [inlmath]x-8[/inlmath] pripadaju [inlmath](-\infty,-11)[/inlmath].

I sada, kako [inlmath]-6\in[-11,+\infty)[/inlmath], to cemo [inlmath]f^{-1}(-6)[/inlmath] dobiti kada potrazimo inverznu funkciju od [inlmath]5x+4[/inlmath] i ubacimo [inlmath]-6[/inlmath], odnosno, [inlmath]f^{-1}(-6)=\displaystyle\frac{-6-4}{5}=-2[/inlmath], dok slicno dobijamo [inlmath]f^{-1}(4)=\displaystyle\frac{4-4}{5}=0[/inlmath] (jer [inlmath]4\in[-11,+\infty)[/inlmath], te je tu ista inverzna funkcija). Naravno, sad je ostao jos najtezi deo, a to je da je [inlmath]-2+0=-2[/inlmath] (to za domaci).

EDIT: ovim svojim postom sam odveo temu na novu stranu, pa da samo skrenem paznju da je pre ovog mog posta Daniel imao jedan svoj novi post.

Onomatopeja je napisao:Naravno, sad je ostao jos najtezi deo, a to je da je [inlmath]-2+0=-2[/inlmath] (to za domaci).

Ova ti je dobra!

Znaci, uslovi za JohnLokeov zadatak su:
[dispmath]x>-2[/dispmath][dispmath]-2\ge x>-7[/dispmath][dispmath]x\le-7[/dispmath]
Ovo se odnosi na [inlmath]x[/inlmath] inverzne funkcije, a ono sto smo Ilija i ja napisali se odnosi na [inlmath]y[/inlmath] inverzne funkcije.

Gospodo, moze neko detaljno da mi razjasni moj primer, zasto su ti uslovi kao sto je pentagram naveo
Izvinjavam se izgleda da mi ne idu funkcije..

Znaci imamo funkcju [inlmath]f(x)=|x+1|+|2x+4|+4x[/inlmath].

Apsolutne vrednosti su:
[dispmath]|x+1|=\begin{cases}
x+1, & x\ge -1\\
-x-1, & x<-1.
\end{cases}\\
|2x+4|=\begin{cases}
2x+4, & x\ge-2\\
-2x-4, & x<-2.
\end{cases}[/dispmath]

---

I sad imamo tri slucaja:

[inlmath]1)\enspace x<-2[/inlmath] gde ce funkcija biti [inlmath]f(x)=-x-1-2x-4+4x=x-5[/inlmath] cije vrednosi pripadaju [inlmath]x\in(-\infty,-7)[/inlmath].

[inlmath]2)\enspace-2\le x<-1[/inlmath] gde ce funkcija biti [inlmath]f(x)=-x-1+2x+4+4x=5x+3[/inlmath] cije vrednosi pripadaju [inlmath]x\in[-7,-2)[/inlmath].

[inlmath]3)\enspace x\ge-1[/inlmath] gde ce funkcija biti [inlmath]f(x)=x+1+2x+4+4x=7x+5[/inlmath] cije vrednosi pripadaju [inlmath]x\in[-2,+\infty)[/inlmath].

---

Za [inlmath]x=-7[/inlmath], koristicemo funkciju [inlmath]f(x)=5x+3[/inlmath], jer [inlmath]x=-7\in[-7,-2)[/inlmath], odnosno njenu inverznu [inlmath]f^{-1}=\frac{x-3}{5}[/inlmath], pa ce vrednost inverzne funkcije biti [inlmath]-2[/inlmath].

Sad, isto tako i za ostala dva slucaja.

OK, znači, videli ste gde je bila greška – poistovećivali ste [inlmath]x[/inlmath] iz [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] i [inlmath]x[/inlmath] iz [inlmath]f^{-1}\left(x\right)[/inlmath], iako su to, zapravo, različiti [inlmath]x[/inlmath]-evi. Ne treba ih mešati.

Postoji još načina da se ovaj zadatak uradi. Jedan je, da se pri traženju [inlmath]f^{-1}\left(-7\right)[/inlmath] postavi jednačina [inlmath]f\left(x\right)=-7[/inlmath], pri čemu će rešenje po [inlmath]x[/inlmath] predstavljati, zapravo [inlmath]f^{-1}\left(-7\right)[/inlmath] (da li je ovo jasno zašto)? Dakle,
[dispmath]\left|x+1\right|+\left|2x+4\right|+4x=-7[/dispmath]
Pa sad odvojeno razmatramo slučajeve:

• [inlmath]x<-2\quad\Rightarrow\quad-x-1-2x-4+4x=-7\quad\Rightarrow\quad x-5=-7\quad\Rightarrow\quad\cancel{x=-2}[/inlmath] (ne zadovoljava uslov ovog slučaja);
• [inlmath]-2\le x<-1\quad\Rightarrow\quad-x-1+2x+4+4x=-7\quad\Rightarrow\quad5x+3=-7\quad\Rightarrow\quad\enclose{box}{x=-2}[/inlmath] (zadovoljava uslov ovog slučaja);
• [inlmath]x\ge-1\quad\Rightarrow\quad x+1+2x+4+4x=-7\quad\Rightarrow\quad7x+5=-7\quad\Rightarrow\quad\cancel{x=-\frac{12}{7}}[/inlmath] (ne zadovoljava uslov ovog slučaja).

[inlmath]\Rightarrow\quad\enclose{box}{f^{-1}\left(-7\right)=-2}[/inlmath]

Na isti način se odrede i [inlmath]f^{-1}\left(-2\right)[/inlmath] i [inlmath]f^{-1}\left(5\right)[/inlmath]. To za domaći, što reče Onomatopeja.

---

Može i grafičkim putem. Nacrtamo grafik funkcije [inlmath]f\left(x\right)=\left|x+1\right|+\left|2x+4\right|+4x[/inlmath]:


(Na slici [inlmath]x[/inlmath]- i [inlmath]y[/inlmath]-osa nisu u međusobnoj srazmeri, da vas to ne zbuni.)
Treba da odredimo [inlmath]f^{-1}\left(-7\right)[/inlmath], tj. za koju vrednost [inlmath]x[/inlmath] će funkcija [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] dati vrednost [inlmath]-7[/inlmath]. Ništa lakše – na ordinati potražimo [inlmath]-7[/inlmath], zatim uočimo tačku na grafiku čija je [inlmath]y[/inlmath]-koordinata jednaka [inlmath]-7[/inlmath], a zatim očitamo njenu [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu, koja u ovom slučaju iznosi [inlmath]-2[/inlmath]. Prema tome, [inlmath]f\left(-2\right)=-7[/inlmath] i [inlmath]f^{-1}\left(-7\right)=-2[/inlmath]. Postupak ponovimo i pri traženju [inlmath]f^{-1}\left(-2\right)[/inlmath] i [inlmath]f^{-1}\left(5\right)[/inlmath].

---

Da li neko uočava zbog čega je u ovom zadatku onaj pogrešan postupak dovodio do ispravnog rešenja?

Daniel je napisao:Može i grafičkim putem.

Iako bas nesto ne volim graficki da resavam zadatke, ovaj nacin u konkretnom zadatku mi se bas dopao. Brzo i elegantno.

Daniel je napisao:Da li neko uočava zbog čega je u ovom zadatku onaj pogrešan postupak dovodio do ispravnog rešenja?

Da nije možda to što se dvije tačke nalaze tačno na ovim "prelomima" na grafiku, pa se u dva slučaja dobija isti rezultat, a samo jedan se može prihvatiti, dok treća tačka ne utiče na konačan rezultat

Daniel je napisao:Može i grafičkim putem.

samo je pitanje ko će na ispitu prihvatiti rješenje dobijeno grafičkim putem, uvijek se traži rezultat dobijen "matematički", ali fin i lagan način za kontrolu i ima još jedan problem većina ne bi znala nacrtati tačan grafik

bole je napisao:samo je pitanje ko će na ispitu prihvatiti rješenje dobijeno grafičkim putem, uvijek se traži rezultat dobijen "matematički", ali fin i lagan način za kontrolu i ima još jedan problem većina ne bi znala nacrtati tačan grafik

Pretpostavljam da je ovo zadatak za prijemni ispit neki. A cini mi se da na vecini beogradskih fakulteta, gde se radi matematika, postupak se ne gleda uopste (za ETF u Beogradu sam siguran, za ostale ne). Tako da, sam nacin rada nije nesto ni bitan za njih - svakako ce gledati zaokruzene odgovore. Sto je veoma lose, po mom misljenju. A ne vidim, zasto se ovakav postupak ne bi uvazio. Sasvim je korektan.

Ja sam ovaj zadatak imao na prijemnom za matematicki od prosle godine. Licno meni je bilo tesko da ga radim tako kako ga radite ovde
pa sam bio nacrtao grafik funkcije [inlmath]f[/inlmath] i gledao sa njega koje je resenje.