MATEMANIJA

Odrediti najmanju vrednost funkcije [inlmath]f(x)=\cos x+\sin x[/inlmath].

Prvi izvod ove funkcije je:
[dispmath]\cos x-\sin x[/dispmath] a ovaj izvod ce imati vrednost [inlmath]0[/inlmath] ako je [inlmath]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath]. To je stacionarna tacka. Drugi izvod je jednak [inlmath]-\sin x-\cos x[/inlmath]. tj. zamenom u drugi izvod [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath] dobijamo vrednost manju od nule. To znaci da zadata funkcija u tacki [inlmath]x=\frac{\pi}{4}[/inlmath] postize maksimum. Ali trazi se najmanja vrednost funkcije. Kako da je nadjem?

Ti si u drugi izvod uvrstio [inlmath]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath] samo za [inlmath]k=0[/inlmath], tj. uvrstio si samo [inlmath]x=\frac{\pi}{4}[/inlmath] i dobio si da je to maksimum. Ali, već za [inlmath]k=1[/inlmath], kad bi uvrstio [inlmath]\frac{5\pi}{4}[/inlmath], dobio bi minimum. E sad, pošto na ovaj način ne možemo znati da li bismo za [inlmath]k=1[/inlmath] dobili i minimalnu vrednost funkcije ili joj je to samo lokalni minimum (zbog toga što nam ovako napisan izraz ništa ne govori o osnovnom periodu te funkcije), zgodnije je to raditi na drugi način, u kojem nam i nije potrebno korišćenje izvoda:

[inlmath]\sin x[/inlmath] napišemo kao [inlmath]\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)[/inlmath]:
[dispmath]f\left(x\right)=\cos x+\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)[/dispmath]
a zatim primenimo formulu za transformaciju zbira u proizvod:
[dispmath]f\left(x\right)=2\cos\frac{\cancel x+\frac{\pi}{2}-\cancel x}{2}\cos\frac{x-\frac{\pi}{2}+x}{2}[/dispmath][dispmath]f\left(x\right)=2\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{2x-\frac{\pi}{2}}{2}[/dispmath][dispmath]f\left(x\right)=\cancel 2\cdot\frac{\sqrt 2}{\cancel 2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)[/dispmath][dispmath]f\left(x\right)=\sqrt 2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)[/dispmath]
i odatle, pošto minimalna vrednost faktora [inlmath]\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)[/inlmath] iznosi [inlmath]-1[/inlmath], zaključujemo da minimalna vrednost funkcije [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] iznosi [inlmath]-\sqrt 2[/inlmath].