MATEMANIJA

Treba da dodefinisu [inlmath]a,\:b[/inlmath] tako da funkcija bude diferencijabilna. Sve sam pokusao ali ova apsolutna vrednost me skroz buni tako da nema sanse da ga resim - evo je funkcija
[dispmath]\frac{1}{|x|}\quad\mbox{za}\quad |x|\ge 1[/dispmath][dispmath]ax^2+b\quad\mbox{za}\quad |x|<1[/dispmath]
Hvala najlepse

Znam da treba da radim prvi izvod i znak kako ide otprilike ali sta god da krenem, zaustavi me apsolutna vrednost - ne znam kako da resim kada apsolutno iks treba da tezi necemu.

I imam jos jedan zadatak koji sve znam da uradim sem zavrsnice. Znam da treba da dobijem dva sistema jednacina, medjutim jedan dobijem a drugi nikako ne mogu, evo funkcije:
[dispmath]2x-2\quad\mbox{za}\quad\le 1[/dispmath][dispmath]a(x-1)(x-2)(x-b)\quad\mbox{za}\quad 1<x<2[/dispmath][dispmath]\frac{x}{2}-1\quad\mbox{za}\quad x\ge 2[/dispmath]
Ovo sam preko izvoda sve lepo resavao - treba da se dobije sistem jednacina i posle samo da se nadju [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. Medjutim drugi sistem nikako ne mogu da dobijem, do ovde sam dosao:
[dispmath]\lim_{h\to 0}\frac{a\left(\frac{1}{2}+h-1\right)\left(\frac{1}{2}+h-2\right)\left(\frac{1}{2}+h-b\right)-\frac{3a}{8}+\frac{3ab}{4}}{h}[/dispmath]
a prva jednacina mi je ispala lepo:
[dispmath]a(2-b)=\frac{1}{2}[/dispmath]

1) Evo ti ovo isto, samo zapisano bez apsolutne vrednosti (ako znaš drugi, znaćeš i ovo):
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
-\frac{1}{x}, & x\le -1\\ \\
ax^2+b, & -1<x<1\\ \\
\frac{1}{x}, & x\ge 1\\ \\
\end{cases}[/dispmath]
2) Prva jednačina koju si dobio je tačna. Druga se dobija iz: [inlmath]f'_+(1)=f'_-(1)[/inlmath]
Kako je:
[dispmath]f'_+(1)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{ah(h-1)(h-2)(1+h-b)}{h}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{h\to 0^+}a(h-1)(1+h-b)=-a(1-b)=a(b-1)[/dispmath]
[dispmath]f'_-(1)=\lim_{h\to 0^-}\frac{2(x+h)-2-(2x-2)}{h}=2[/dispmath]
Otuda je druga jednačina: [inlmath]a(b-1)=2[/inlmath]
Ostaje ti da rešiš sistem, i dobićeš da je [inlmath]a=\frac52[/inlmath] i [inlmath]b=\frac95[/inlmath].