MATEMANIJA

Naci minimalne i maksimalne vrednosti funkcije:
[dispmath]y=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{\left(1-x^2\right)^2}[/dispmath]
Kada uradim izvod funkcije dobijem
[dispmath]y'=\frac{2x^6-2x^4+6x^2-2}{x^3\left(1-x^2\right)^3}[/dispmath]
Kako se ovo resava? U resenju stoji [inlmath]y_\mbox{min}=8[/inlmath] za [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath]. Otisao sam na ovaj sajt i izbacilo mi je funkciju koja ima vise "grana" ili kako se to vec zove, logicno posto ima [inlmath]x^6[/inlmath] ali ja stvarno nemam predstavu kako bih resio ovo, tj. izjednacio sa nulom..Znam kako treba da se radi, ali kada dobijem normalan izvod funkcije, a ne ovako nesto.

Za ovako napisanu funkciju ne dobije se da je tačka minimuma [inlmath]\left(\frac{1}{2},8\right)[/inlmath].

Kada bi funkcija glasila
[dispmath]y=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{\left(1-x\right)^2}[/dispmath]
e, tada bi imala jedan minimum i taj minimum bi upravo bio [inlmath]\left(\frac{1}{2},8\right)[/inlmath]. S tim, što bi to bio lokalni minimum, ali ne i minimalna vrednost te funkcije.

Proveri još jednom da li si dobro napisao izraz za funkciju.

Proverio, izraz je dobro napisan. Pretpostavljam da je greska u zbirci.. Nije prva greska na koju sam naisao. Pa, iako tekst zadatka glasi tako, u svakom primeru traze lokalni minimum, tako da se na to mislilo.. Nisam razmisljao o tome da bi greska mogla biti u samom izrazu, obicno, ako pogrese, pogrese samo u resenju.. Hvala, sigurno je to sto si napisao, da tako glasi, jer da je drugacije ne bi imalo smisla zbog resenja, valjda su barem resenje dobro napisali kada su izraz pogresili..

Da li se kao izvod te funkcije sto si mi naveo dobije [inlmath]y'=-2x^{-3}+\frac{2}{(1-x)^3}=\frac{2x^3-2(1-x)^3}{(1-x)^3\cdot x^3}[/inlmath]
[dispmath]2x^3-2\left(1-x^3-3x(1-x)\right)=4x^3-6x^2+6x-2=2x^3-3x^2+3x-1=0[/dispmath]
Pomocu onog kalkulatora za kubnu jednacinu sto si napravio dobio sam da je jedino relano resenje [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath] sto i predstavlja minimum.. Postoji li jednostavniji nacin za resavanje ove kubne jednacine, osim onoga sa silnim smenama? Pokusao sam da je svedem na kvadratnu tako sto podelim sa [inlmath](x-1)[/inlmath] ili [inlmath](x+1)[/inlmath] sto obicno moze, ali ovde ne moze.. A sad nemam bas vremena da i to ucim s obzirom na to da se samo u ovom zadatku pojavljuje..

Jeste, dobije se
[dispmath]y'=\frac{2x^3-2\left(1-x\right)^3}{\left(1-x\right)^3\cdot x^3}=2\cdot\frac{x^3-\left(1-x\right)^3}{\left(1-x\right)^3\cdot x^3}[/dispmath]
I sada ne treba da razvijaš kub razlike [inlmath]\left(1-x\right)^3[/inlmath], već da uočiš da brojilac predstavlja razliku kubova pa da je rastaviš prema formuli [inlmath]a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)[/inlmath]:
[dispmath]x^3-\left(1-x\right)^3=\left[x-\left(1-x\right)\right]\left[x^2+x\left(1-x\right)+\left(1-x\right)^2\right]=\left(2x-1\right)\left(x^2-x+1\right)[/dispmath]
Izjednačavanjem faktora [inlmath]\left(2x-1\right)[/inlmath] s nulom dobije se rešenje [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath], dok se izjednačavanjem faktora [inlmath]\left(x^2-x+1\right)[/inlmath] s nulom dobije da nema realnih rešenja, jer je diskrimanta manja od nule.

---

I, molim te,

nikolalosic je napisao:[dispmath]2x^3-2\left(1-x^3-3x(1-x)\right)=4x^3-6x^2+6x-2{\color{red}=}2x^3-3x^2+3x-1=0[/dispmath]

nikako nemoj pisati ovu jednakost obeleženu crveno. Naravno da kod jednačine čija je desna strana nula možeš levu stranu podeliti sa [inlmath]2[/inlmath], ali to se ne sme pisati na ovaj način, jer ta jednakost, sasvim očigledno, ne važi.

Znao sam da nesto nisam primetio.. Izvinjavam se, kako sam brzo pisao pa sam skroz zaboravio da razdvojim to posebno, pazicu sledeci put..