MATEMANIJA

Naci najmanju vrednost funkcije [inlmath]f(x)=\frac{x^2}{8}+x\cos{x}+\cos{2x}[/inlmath].
Ova funkcija je nestandardna, i potrebna je neka dosetka.
Uputstvo kaze da tretiramo datu funkciju kao kvadratnu funkciju po nepoznatoj [inlmath]x[/inlmath], ali ja sam zbunjen jer se nepoznata nalazi i u funkciji kosinusa.

Evo neke moje zamisli, ali verovatno nije tako.
Onu funkciju sam napisao kao kvadratnu:
[dispmath]f(x)=\frac{1}{8}x^2+x\cos x+\cos2x[/dispmath] E sad, da bi ovakva funkcija bila minimalna, bar ja mislim, treba da nadjem apscisu temena parabole, po formuli [inlmath]-\frac{b}{2a}[/inlmath] tj. ovde [inlmath]x_\text{min}=-4\cos x[/inlmath]. Odavde sam nasao da je [inlmath]x[/inlmath] najmanje ako je [inlmath]\cos x=1[/inlmath]. E sad, [inlmath]\cos x=1[/inlmath] ako je [inlmath]x=0[/inlmath]. Zamenom u zadatu funkciju, dobijam da je najmanja vrednost f-je [inlmath]1[/inlmath]

Odgovor je [inlmath]f_\text{min}(x)=-1[/inlmath]. Ali meni jos uvek nije jasno rezonovanje.

Nasao sam gde sam pogresio, nisam trebao da razmatram [inlmath]-4\cos x[/inlmath] jer [inlmath]x[/inlmath] uvek treba da ima istu vrednost, a ja kako sam napisao da je [inlmath]x=0[/inlmath] ispalo je [inlmath]0=-4[/inlmath]. To sto sam dobio kao [inlmath]x_\text{min}[/inlmath] trebalo je da zamenim u pocetnu funkciju. Ili da nadjemo [inlmath]y_\text{min}[/inlmath] po formuli [inlmath]\frac{4ac-b^2}{4a}[/inlmath] pa bi to bilo [inlmath]\frac{4\cdot\frac{1}{8}\cos2x-\cos^2x}{\frac{1}{2}}[/inlmath] i kada se to malo sredi dobija se [inlmath]y_\text{min}=-\cos^2x-\sin^2x=-\left(\cos^2x+\sin^2x\right)=\enclose{box}{-1}[/inlmath].
Ovako, [inlmath]-\frac{1}{8}[/inlmath] posmatras kao koeficijent uz kvadratni clan [inlmath]x^2[/inlmath], [inlmath]\cos x[/inlmath] kao koeficijent uz clan [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]\cos2x[/inlmath] kao slobodan clan. Ovo ce ti pomoci:
[dispmath]f(x)=ax^2+bx+c[/dispmath] U ovom slucaju, kao sto sam napisao, imas ovako
[dispmath]f(x)=\underbrace{\frac{1}{8}}_ax^2+x\underbrace{\cos x}_b+\underbrace{\cos2x}_c[/dispmath]

Pozdrav,

64. zadatak iz oblasti trigonometrije (7) u Metodickoj zbirci zadataka za prijemni ispit Mirka Jovanovica glasi:

Naći najmanju vrednost funkcije [inlmath]f(x)=\frac{x^2}{8}+x\cos x+\cos2x[/inlmath].

Kada uradim izvod funkcije dobijem
[dispmath]f'(x)=\left(\cos x+\frac{x}{4}\right)(1-4\sin x)[/dispmath] Ne znam šta dalje činiti, niti kako naći sve nule od izvoda funkcije. Ako bi neko mogao pomoći, hvala.

Pozdrav, dobro došao na forum.

Imali smo taj zadatak pre desetak godina, objašnjen je ovde.