MATEMANIJA

Funckija
[dispmath]f(x)=\frac{1}{mx^2+(m-8)x+1}[/dispmath]
je definisana za sve vrednosti [inlmath]x[/inlmath] ako i samo ako

Resenje je [inlmath]m\in\left(4,16\right)[/inlmath]

Ne znam sta da radim ovde, prvi put vidim ovaj tip zadatka u funkcijama, nema ga u FON-ovoj zbirci a javio se na prijemnom 2007-me...

Da bi ta funkcija bila definisana za sve vrednosti [inlmath]x[/inlmath], potrebno je da vrednost razlomka bude definisana za sve vrednosti [inlmath]x[/inlmath]. Znači, imenilac mora biti različit od nule za sve vrednosti [inlmath]x[/inlmath]. Pošto u imeniocu imamo kvadratnu funkciju po [inlmath]x[/inlmath], uslov da njena vrednost bude različita od nule za sve vrednosti [inlmath]x[/inlmath] biće taj da je njena diskriminanta strogo manja od nule. Znači, napišeš izraz za njenu diskriminantu, to će biti neki izraz u zavisnosti od parametra [inlmath]m[/inlmath], i zatim tražiš vrednost parametra [inlmath]m[/inlmath] tako da diskriminanta bude manja od nule...

Sad se osecam glupo, zadatak je totalna klasika . Ako mozes samo da mi pojasnis zasto diskriminanta mora da bude strogo ispod nule. Npr u kom slucaju bi diskriminanta bila jednaka nuli, ili veca i jednaka nuli itd?

Mora da bude strogo manja od nule, upravo zato da ta kvadratna funkcija u imeniocu ne bi imala vrednost nula ni za jednu vrednost [inlmath]x[/inlmath]. Grafički gledano, kada je diskriminanta manja od nule, tada grafik funkcije (parabola) nema presečne tačke s [inlmath]x[/inlmath]-osom, pa samim tim nema ni realne nule. Kada je diskriminanta jednaka nuli, tada parabola dodiruje [inlmath]x[/inlmath]-osu u jednoj tački, tj. kvadratna funkcija tada ima jednu realnu nulu. Kada je diskriminanta veća od nule, tada parabola seče [inlmath]x[/inlmath]-osu u dvema tačkama, pa tada kvadratna funkcija ima dve realne i različite nule.

U ovom konkretnom zadatku, ako bi diskriminanta bila jednaka nuli, tada funkcija ne bi bila definisana za samo jednu vrednost [inlmath]x[/inlmath] (to bi bila vrednost one jedne nule kvadratne funkcije), dok bi za sve ostale vrednosti [inlmath]x[/inlmath] funkcija bila definisana.

Ako bi diskriminanta bila veća od nule, tada funkcija ne bi bila definisana za dve vrednosti [inlmath]x[/inlmath] (to bi bile vrednosti one dve nule kvadratne funkcije), dok bi za sve ostale vrednosti [inlmath]x[/inlmath] funkcija bila definisana.