MATEMANIJA

Nadam se da nisam promasio temu. Moje pitanje je sledece: Kako dokazati neprekidnost trigonometrijskih funkcija [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath] koristeci definiciju neprekidnosti funkcije. Naime neka je funkcija [inlmath]f[/inlmath] definisana u intervalu [inlmath](a,b)[/inlmath] i neka je [inlmath]x_0\in(a, b)[/inlmath]. Za funkciju [inlmath]f[/inlmath] kazemo da je neprekidna u tacki [inlmath]x_0[/inlmath], ako za proizvoljno [inlmath]\epsilon>0[/inlmath] postoji [inlmath]\delta>0[/inlmath] tako da je za svako [inlmath]x[/inlmath] za koje je [inlmath]|x-x_0|<\delta=\delta(\epsilon)[/inlmath] ispunjeno [inlmath]|f(x)-f(x_0)|<\epsilon[/inlmath].
Dakle krenuo sam da primenim ovu definiciju u dokazivanju. Za ovu svrhu izabrao sam sinus jer pretpostavljam da se slicno dokazivanje radi i za kosinus. A, da u uputstvu se pominje da se moze iskoristiti sledeca nejednakost [inlmath]|\sin x|\leq |x|[/inlmath]. Medjutim meni je poznata jos jedna koja se mozda moze iskoristiti, a to je [inlmath]|a+b|\leq |a|+|b|[/inlmath]
[dispmath]|x-x_0|<\delta\;\Rightarrow\;|\sin x-\sin x_0|<\epsilon\\
|\sin x-\sin x_0|\leq |\sin x|+|-\sin x_0|\leq |x|+|-x_0|[/dispmath]
Da li je dobro za sad? Ako mi mozete dovrsiti ovo jer se prvi put srecem sa ovakvim dokazivanjem. Hvala puno!

Funkcija je neprekidna u tački [inlmath]x_0[/inlmath] ako važi:
[dispmath](\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in\mathbb{X})(|x-x_0|<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon)[/dispmath]
Pošto je [inlmath]|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/inlmath], onda važi [inlmath]|\sin x-\sin x_0|<\varepsilon[/inlmath].
Primenom formule za razliku sinusa:
[dispmath]\left|2\cos\frac{x+x_0}{2}\sin\frac{x-x_0}{2}\right|<\varepsilon[/dispmath]
Pošto je [inlmath]\left|\cos\frac{x+ x_0}{2}\right|<1[/inlmath]:
[dispmath]\left|2\sin\frac{x-x_0}{2}\right|<\varepsilon[/dispmath]
Onda se može iskoristiti nejednakost koju si naveo (tj. [inlmath]|\sin x|<|x|[/inlmath]):
[dispmath]2\left|\sin\frac{x-x_0}{2}\right|<2\left|\frac{x-x_0}{2}\right|=|x-x_0|[/dispmath]
Kako je [inlmath]|x-x_0|<\delta[/inlmath], neka je [inlmath]\delta =\varepsilon[/inlmath].
Tada je zaista:
[dispmath]|\sin x-\sin x_0|<|x-x_0|<\delta =\varepsilon[/dispmath]

Puno hvala! Samo ako mi mozes objasniti zasto zanemarujemo kosinus koji je ogranicen isto kao i sinus. Ili gresim?

Mozes ti tu neogranicenost iskoristiti i na sinusu, ali to ti ne donosi nista za razliku od onog iznetog gore.