MATEMANIJA

Pomoću uvjetnih ekstrema odredite maksimalan volumen pravilne četverostrane piramide koja je upisana u kugli radijusa [inlmath]R[/inlmath].

- Uvjetni ekstrem funkcije [inlmath]z=f(x,y)[/inlmath] je max ili min te funkcije koji zadovoljava uvjet [inlmath]\rho(x,y)=0[/inlmath]. Postupak za određivanje uvjetnog ekstrema u zadacima ovakvog tipa je sljedeći:
Formirati tzv. Lagrangeovu funkciju [inlmath]L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\cdot\rho(x,y)[/inlmath]. Ovo je ujedno po meni i najteži dio zadatka, tj. najčešće se radi greška pri određivanju [inlmath]\rho(x,y)[/inlmath].
Potom se određuju parcijalne derivacije [inlmath]\frac{\partial L}{\partial x}[/inlmath], [inlmath]\frac{\partial L}{\partial y}[/inlmath], [inlmath]\frac{\partial L}{\partial\lambda}[/inlmath]. Dalje se ide ka dobivanju potrebnih nepoznanica iz jednadžbi. Kada sve nepoznanice postanu poznate, konačno rješenje uvrsti se u traženi volumen.

U ovom slučaju, naš [inlmath]f(x,y)[/inlmath] tj. [inlmath]z[/inlmath] je [inlmath]V=\frac{a^2\cdot h}{3}[/inlmath] i time smo dobili jedan od potrebna dva "dijela" Lagrangeove funkcije koju je na početku zadatka potrebno formirati. Problem mi u ovom slučaju predstavlja drugi dio te funkcije tj. ono što množi [inlmath]\lambda[/inlmath], a to je [inlmath]\rho[/inlmath]. Kako ga pravilno odrediti u zadacima ovakvog tipa i konkretno u ovom primjeru? Imao sam različite varijante ovih zadataka, npr. odrediti volumen stošca upisanog u kuglu i sl. i uvijek se javi isti problem. Kada se formira Lagrange, onda zadatak ide u većini slučajeva glatko.

Na osnovu slike levo,
[dispmath]\left(\frac{d}{2}\right)^2=R^2-\left|h-R\right|^2=2Rh-h^2[/dispmath]
a na osnovu slike desno (osnova piramide),
[dispmath]a^2=2\left(\frac{d}{2}\right)^2\quad\Rightarrow\quad\left(\frac{d}{2}\right)^2=\frac{a^2}{2}[/dispmath]
Izjdnačavanjem desnih strana prethodnih dveju jednačina,
[dispmath]\frac{a^2}{2}=2Rh-h^2\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{4Rh-2h^2}[/dispmath]
Označimo [inlmath]h[/inlmath] sa [inlmath]x[/inlmath], a [inlmath]a[/inlmath] sa [inlmath]y[/inlmath]:
[dispmath]\rho\left(x,y\right)=\sqrt{4Rx-2x^2}-y=0[/dispmath]
i dobijamo Lagranžovu funkciju koja glasi
[dispmath]L\left(x,y,\lambda\right)=f\left(x,y\right)+\lambda\rho\left(x,y\right)=\frac{xy^2}{3}+\lambda\left(\sqrt{4Rx-2x^2}-y\right)[/dispmath]

Hvala. U Lagranžovoj funkciji nisam stavljao korjen zbog jednostavnijeg parcijalnog deriviranja.

Uglavnom, dobio sam da je [inlmath]h=\frac{3R}{2}[/inlmath] (dva puta prekontrolirao, nisam našao grešku )

dalje je jednostavno...

Hm, ja dobijem [inlmath]h=\frac{4R}{3}[/inlmath]. I kad radim ovako, i kad radim preko izvoda.

Provjeriću

Treba mi pomoć za još dva ovakva zadatka (Lagrange tj. kako doći do "[inlmath]\phi[/inlmath]" dijela formule).

[inlmath]1)[/inlmath] Odredite pomoću uvjetnog ekstrema maksimalnu površinu pravokutnika koji se može upisati u jednakokračni trokut baze [inlmath]a[/inlmath] i visine [inlmath]v[/inlmath].
[inlmath]2)[/inlmath] Odredite pomoću uvjetnog ekstrema maksimalan volumen pravilne četverostrane prizme koja se može upisati u pravilnu četverostranu piramidu sa bazom stranice [inlmath]\sqrt{2}[/inlmath] te visinom [inlmath]1[/inlmath].

Za [inlmath]1)[/inlmath] pogledaj ovu i ovu temu.

Da bi uradio pod [inlmath]2)[/inlmath], možeš uočiti to da će presek piramide i u njoj upisane prizme biti isti kao i crtež pod [inlmath]1)[/inlmath], tako da će i postupak nalaženja veze između visine i stranice biti isti kao i pod [inlmath]1)[/inlmath].

Za [inlmath]1)[/inlmath] to bi bilo:
[dispmath]f(x,y)=xy\\
\rho=-\frac{a}{v}x^2+ax[/dispmath]
?

[inlmath]f\left(x,y\right)[/inlmath] ti je u redu, ali [inlmath]\rho\left(x,y\right)[/inlmath] ne valja. Nigde ti nema [inlmath]y[/inlmath], a [inlmath]\rho\left(x,y\right)[/inlmath] upravo treba da dâ vezu između [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]. A i ne znam kako si došao do tog kvadrata promenljive [inlmath]x[/inlmath]?

Izgleda da si, umesto izraza za [inlmath]\rho[/inlmath], napisao izraz za površinu pravougaonika u zavisnosti od njegove stranice [inlmath]x[/inlmath]?

Kako onda treba biti?

Čudi me da ne možeš da dobiješ ispravnu [inlmath]\rho\left(x,y\right)[/inlmath] funkciju, kad sam ti dao linkove na kojima je detaljno pokazan postupak. Treba da se dobije
[dispmath]\rho\left(x,y\right)=v-\frac{v}{a}x-y[/dispmath]

Bio sam i dobio identično, ali s tim ne mogu doći do rješenja (pravokutnik u trokutu) pa sam to bio odbacio i tražio druge načine. Onda, ako je to točno, kako završiti zadatak ako imam:
[dispmath]L(x,y,\lambda)=xy+\lambda\left(v-\frac{v}{a}x-y\right)[/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{l}
\frac{\partial L}{x}=y+\lambda\left(-\frac{v}{a}\right)\\
\frac{\partial L}{y}=x-\lambda\qquad (\lambda=x)\\
\frac{\partial L}{\lambda}=v-\frac{v}{a}x-y
\end{array}[/dispmath]

Pa, već si ga, skoro, i završio.
Sva ova tri parcijalna izvoda treba da budu jednaka nuli i to ti je sistem od tri jednačine s tri nepoznate: [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]\lambda[/inlmath]. A pošto si već iz jedne jednačine dobio da ti je [inlmath]\lambda =x[/inlmath], time si taj sistem, zapravo, sveo na dve jednačine s dve nepoznate, [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]. A to ti sigurno nije nikakav problem da rešiš.

Na kraju samo uvrstiš dobijene vrednosti [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] u formulu za površinu pravougaonika, [inlmath]P=xy[/inlmath], i to će biti ta maksimalna površina.


P.S. Kod oznaka parcijalnih izvoda izostavio si simbole [inlmath]\partial[/inlmath] u imeniocima/nazivnicima.