MATEMANIJA

Pozdrav, ne znam rešiti ovaj zadatak.

Odredi inverznu funkciju date funkcije, [inlmath]f(x)=7^{2x}-3\cdot 5^x[/inlmath]

Može li neko da mi uradi ovaj zadatak? Hvala.

Molim i tebe i ostale, da ne tražite da vam se zadaci urade. To nije svrha ovog foruma.

Što se tiče konkretno ove funkcije, ona nije injektivna (što se može utvrditi njenim ispitivanjem), a injektivne funkcije nemaju inverznu funkciju.
To je zbog toga što se, kod funkcija koje nisu injektivne, dve ili više različitih vrednosti mogu preslikavati u jednu istu vrednost, pa bi se tada, kod njoj inverzne funkcije, jedna vrednost preslikavala u dve ili više različitih vrednosti, a to onda ne bi bila funkcija.

Međutim, čak i kad bi, recimo, umesto minusa stajao plus (i samim tim funkcija bila injektivna), opet ne bi bilo moguće analitičkim putem odrediti inverznu funkciju, jer imamo [inlmath]x[/inlmath] u eksponentima na različitim osnovama. Jedino kad bi osnove bile jednake, npr. [inlmath]f(x)=5^{2x}+3\cdot 5^x[/inlmath], e tada bi se već dalo naći inverznu funkciju, rešavanjem kvadratne jednačine po [inlmath]5^x[/inlmath]...

Jesi li siguran da si dobro napisao zadatak?

Daniele,pokušavo sam ja raditi ovaj zadatak prije nego što si ti napisao ovaj post ali odmah sam vidio da tu nešto ne štima.Kako znaš da ova funkcija nije injektivna? Kakvim ispitivanjem? Ja znam to jedino zaključiti preko grafika funkcije i nikako drugačije.Sigurno postoji neki jednostavniji način da se to odredi.

Upravo preko grafika. Nađeš da je leva horizontalna asimptota jednaka nuli, kao i da postoji nula te funkcije u konačnom intervalu (neko [inlmath]x_0[/inlmath] za koje je [inlmath]f\left(x_0\right)=0[/inlmath]). A pošto je funkcija neprekidna, iz toga zaključujemo da je sigurno u pitanju neki od sledeća dva slučaja:
1. slučaj – funkcija ima vrednost nula u celom intervalu [inlmath]\left(-\infty,x_0\right][/inlmath];
2. slučaj – funkcija ima lokalni ekstrem u intervalu [inlmath]\left(-\infty,x_0\right)[/inlmath].
Iako nam je kod ove funkcije i intuitivno jasno da je u pitanju drugi slučaj, nije to ni potrebno dokazivati, jer, bez obzira na to koji je od ova dva slučaja u pitanju, funkcija nije injektivna. Nije injektivna ako joj je vrednost na nekom intervalu konstanta, kao što nije injektivna ni ako ima lokalni ekstrem.

---

Možeš i bez ispitivanja asimptota i traženja nula funkcije, tako što samo pokažeš da funkcija ima lokalni ekstrem. Da izjednačiš prvi izvod s nulom i odatle pokažeš da postoji rešenje po [inlmath]x[/inlmath], to nije problem. Međutim, potrebno je pokazati i da je drugi izvod u toj tački različit od nule (svejedno da li je veći od nule ili manji od nule), jer, ako je jednak nuli, onda je u pitanju prevojna tačka, a postojanje prevojne tačke nije dokaz da funkcija nije injektivna (primer: funkcija [inlmath]f\left(x\right)=x^3[/inlmath]). E, tu je sad račun nešto malo komplikovaniji, petljanje s eksponentima i logaritmima, ali dâ se i to izvesti (prepuštam tebi). Na kraju je na tebi da odabereš način koji ti je jednostavniji – da li preko asimptota i nule funkcije, ili preko prvog i drugog izvoda...

Pojasnio si mi ovo.Meni je ovaj prvi način jednostavniji a i tako uvijek radim.