MATEMANIJA

Prijemni ispit GRF – 2. jul 2013.
14. zadatak

Ako je [inlmath]\displaystyle f\left(\frac{x-1}{x+1}\right)=x[/inlmath], onda je [inlmath]\displaystyle f\Biggl(f\left(\frac{1}{2}\right)\Biggr)[/inlmath] jednako?
Odgovor kaze [inlmath]-2[/inlmath].

Muci me ovaj zadatak vec dugo i nikako da skontam rjesenje...

Prvo treba da nađeš [inlmath]f(x)[/inlmath] onda ti je ostalo sve lako.

Prvo izračunamo [inlmath]f\left(\frac{1}{2}\right)[/inlmath]. Znamo da je [inlmath]f\left(\frac{x-1}{x+1}\right )=x[/inlmath], pa ćemo izjednačiti [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]\frac{x-1}{x+1}[/inlmath].
[dispmath]\frac{x-1}{x+1}=\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]2(x-1)=x+1\\
x=3[/dispmath] Dakle, [inlmath]f\left(\frac{1}{2}\right)=3[/inlmath]. Istom logikom sada računamo vrednost [inlmath]f(3)[/inlmath].
[dispmath]\frac{x-1}{x+1}=3[/dispmath][dispmath]x-1=3(x+1)\\
-4=2x\\
x=-2[/dispmath] Dakle, [inlmath]f\bigg(f\left(\frac{1}{2}\right)\bigg)=-2[/inlmath]

Hvala mnogo na zadatku. Ovo mi izgleda lagano za raditi ali nas u srednjoj ne uce bas mnogo

Pokazao bih i drugi način, a to je da prvo iz [inlmath]f\left(\frac{x-1}{x+1}\right)=x[/inlmath] nađeš funkciju [inlmath]f(x)[/inlmath], pa onda samo u nju uvrstiš [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath], a nakon toga uvrstiš i [inlmath]x=f\left(\frac{1}{2}\right)[/inlmath].

Radi nalaženja funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath], prvo i levu i desnu stranu stavimo pod argument [inlmath]f^{-1}(x)[/inlmath] (inverzna funkcija od [inlmath]f(x)[/inlmath]):
[dispmath]f\left(\frac{x-1}{x+1}\right)=x\quad\left/f^{-1}(x)\right.[/dispmath][dispmath]f^{-1}\circ f\left(\frac{x-1}{x+1}\right)=f^{-1}(x)[/dispmath] [inlmath]f^{-1}[/inlmath] i [inlmath]f[/inlmath] se, kao dve međusobno inverzne funkcije, poništavaju:
[dispmath]\frac{x-1}{x+1}=f^{-1}(x)[/dispmath] I sada ovu jednačinu rešavamo po [inlmath]x[/inlmath], nakon čega ćemo dobiti
[dispmath]x=\frac{1+f^{-1}(x)}{1-f^{-1}(x)}[/dispmath] što, ako sada [inlmath]x[/inlmath] zamenimo sa [inlmath]f(x)[/inlmath], daje:
[dispmath]f(x)=\frac{1+x}{1-x}[/dispmath] I, sada kad znaš izraz za [inlmath]f(x)[/inlmath], lako nađeš i da je [inlmath]f\left(\frac{1}{2}\right)=3[/inlmath], a odatle i da je [inlmath]f\bigg(f\left(\frac{1}{2}\right)\bigg)=f(3)=-2[/inlmath].

Biraj koji ti se od ova dva priložena načina čini zgodnijim – sasvim je svejedno.

Usvojicu oba (znanja nikad dosta), i hvala obojici

Daniele evo pogledao sam ovaj tvoj način rješavanja meni i nije baš jasan. Ovde kod stavljanja ove funkcije pod argument [inlmath]f^{-1}(x)[/inlmath] mi nije jasno ništa. A pogotovo kako se ove dvije funkcije poništavaju.To bi trebalo da ide preko kompozicije funkcije koliko ja znam. Ja sam zadatak radio na veoma sličan način tvome ako ne i na isti način. Ali ovaj tvoj je potpuniji i ima neko objašnjenje dok su nas u školi učili ovako:
[dispmath]f\left(\frac{x-1}{x+1}\right)=x[/dispmath][dispmath]\frac{x-1}{x+1}=t[/dispmath][dispmath]x-1=t(x+1)[/dispmath][dispmath]x-1=tx+t[/dispmath][dispmath]x-tx=1+t[/dispmath][dispmath]x(1-t)=1+t[/dispmath][dispmath]x=\frac{1+t}{1-t}[/dispmath][dispmath]f(t)=\frac{1+t}{1-t}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{f(x)=\frac{1+x}{1-x}}[/dispmath] Ovo je taj način na koji sam ja radio zadatak koji i meni nije baš najjasniji svodi se na istu foru kao kod tebe. I pitanje je kakve veze ima ova dobijena funkcija sa prvobitnom funkcijom? Da li je to inverzna funkcija? Ja mislim da nije mada čini mi se da sam negdje pročitavo ne znam ni ja gdje da je to inverzna funkcija. I zapravo kako se traži inverzna funkcija od funkcija zadatih u ovakvom tipu? Ja kada tražim inverznu samo zamjenem [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] a ovde to ne mogu tako da uradim.

Gamma je napisao:Ovde kod stavljanja ove funkcije pod argument [inlmath]f^{-1}(x)[/inlmath] mi nije jasno ništa. A pogotovo kako se ove dvije funkcije poništavaju.To bi trebalo da ide preko kompozicije funkcije koliko ja znam.

Pa i ide preko kompozicije funkcije, napisao sam
[dispmath]f^{-1}\circ f\left(\frac{x-1}{x+1}\right)=f^{-1}(x)[/dispmath] A poništavaju se, jer, upravo prema definiciji inverzne funkcije, važi
[dispmath]f\circ f^{-1}(x)=f^{-1}\circ f(x)=x[/dispmath]

Gamma je napisao:Ja sam zadatak radio na veoma sličan način tvome ako ne i na isti način.

Tvoj način ima dosta sličnosti s načinom na koji sam ja radio, samo što sam ja koristio inverznu funkciju a ti si koristio smenu. U principu, isto. Mada je tvoj način svakako razumljiviji onome ko se nije ranije susretao s inverznim funkcijama. U svakom slučaju, dobro je što imamo i treći način rešavanja ovog zadatka.

Gamma je napisao:I pitanje je kakve veze ima ova dobijena funkcija sa prvobitnom funkcijom? Da li je to inverzna funkcija? Ja mislim da nije mada čini mi se da sam negdje pročitavo ne znam ni ja gdje da je to inverzna funkcija.

Ako misliš na funkciju koju si na kraju dobio, [inlmath]f(x)=\frac{1+x}{1-x}[/inlmath], to nije inverzna funkcija početne funkcije [inlmath]f\left(\frac{x-1}{x+1}\right)[/inlmath], to je ista ta funkcija, samo što joj je argument promenjen.

Gamma je napisao:I zapravo kako se traži inverzna funkcija od funkcija zadatih u ovakvom tipu? Ja kada tražim inverznu samo zamjenem [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] a ovde to ne mogu tako da uradim.

Mi ovde već znamo inverznu funkciju, napisao sam njen izraz u koraku [inlmath]\frac{x-1}{x+1}=f^{-1}(x)[/inlmath], a da bismo iz nje odredili originalnu funkciju, rešavamo jednačinu po [inlmath]x[/inlmath], kao što sam i učinio u svom postupku. E, u tom koraku možeš, ako ti je tako razumljivije, da [inlmath]x[/inlmath] zameniš sa [inlmath]y[/inlmath], a [inlmath]f^{-1}(x)[/inlmath] zameniš sa [inlmath]x[/inlmath], tako da onda taj izraz postaje [inlmath]\frac{y-1}{y+1}=x[/inlmath] i odatle nađeš izraz za [inlmath]y[/inlmath], a to je funkcija [inlmath]f(x)[/inlmath] koju tražimo...

Jedino što me zbunjuje je ta definijica preko koje se poništava. Postoji li neki uopšten dokaz za tu definiciju? Meni nekako nije logična a možda i jeste samo ne vidim.

Ne postoji. Definicije se ne dokazuju, za razliku od teorema. Definicijom dodeljujemo određena svojstva nekim matematičkim objektima. Ono što možemo dokazati su druga svojstva koja slede iz same definicije...

Pa ne znam sada koliko si me baš razumio. Mora postojati makar neko objašnjenje. Ja sam primjetio da ta definicija vrijedi kod svake linearne funkcije. Uzmem neku funkciju i to izračunam i vidim da je dobro. E sada kod ovih ostalih funkcija ne znam. Zato i pitam za neko uopšteno objašnjenje. I imam još jedno pitanje znam da se kompozicija može pisati [inlmath]f^{-1}\circ f(x)[/inlmath] i [inlmath]\left(f^{-1}\circ f\right)_{(x)}[/inlmath] ja sam pronašao ovakav zapis [inlmath]f^{-1}(x)\circ f(x)[/inlmath] Da li je on ispravan?

Definicija je savršeno logična, a evo i primera:
[dispmath]f(x)=x^3\quad\Longrightarrow\quad f^{-1}(x)=\sqrt[3]x[/dispmath] pa se definicija
[dispmath]f\circ f^{-1}(x)=f^{-1}\circ f(x)=x[/dispmath] svodi na
[dispmath]\left(\sqrt[3]x\right)^3=\sqrt[3]{x^3}=x[/dispmath]
Drugi primer:
[dispmath]f(x)=e^x\quad\Longrightarrow\quad f^{-1}(x)=\ln x[/dispmath] pa se definicija
[dispmath]f\circ f^{-1}(x)=f^{-1}\circ f(x)=x[/dispmath] svodi na
[dispmath]e^{\ln x}=\ln e^x=x[/dispmath]

Sada vidim da je logična. I de mi reci za onaj drugi zapis kompozicije da li je ispravan? Jer sam našao zadatak s tim zapisom. Moguće je da je greška u zadatku.

Nema potrebe da ponavljaš pitanje, video sam ga, ali budući da ne znam siguran odgovor – nisam odgovorio. Ako neko bude znao sa sigurnošću da odgovori i ako bude želeo – odgovoriće.
Ja, lično, niti sam dosad igde video taj treći način zapisivanja, niti mi izgleda logičan, ali to što ga ja dosad nisam video i što mi ne izgleda logičan ne mora obavezno značiti i da nije ispravan...

Sigurno je neispravan. I to je štamparska greška.Tako je samo u jednom zadatku u zbirci a u ostalim drugačije je. Što ti nije logičan?

E, preteruješ malo s pitanjima... Ako nisi siguran u ispravnost nekog načina zapisa, jednostavno ga nemoj koristiti, već koristi one načine zapisa za koje znaš da su ispravni... I nećeš pogrešiti.

A zašto mi nije logičan – zbog toga što se kod kompozicije funkcija [inlmath](f\circ g)(x)[/inlmath] nezavisna promenljiva [inlmath]x[/inlmath] nalazi u argumentu funkcije [inlmath]g[/inlmath], dok se funkcija [inlmath]g[/inlmath] nalazi u argumentu funkcije [inlmath]f[/inlmath]. A zapis [inlmath]f(x)\circ g(x)[/inlmath] sugeriše na to da se [inlmath]x[/inlmath] nalazi u argumentima obeju funkcija.

Dobro . Samo sam htio da čujem tvoje mišljenje jer ako ti nisi siguran stvarno ne znam ko će onda odgovoriti sigurno.